Rochambeau 2011. Enseignement spécifique

EXERCICE 2

Partie A

On note $D_1$ (respectivement $D_2$) l'événement \og le premier ordinateur choisi est défectueux \fg~(respectivement \og le deuxième ordinateur choisi est défectueux \fg).

La probabilité demandée est $p\left(D_1\cap D_2\right)$.

La probabilité que les deux ordinateurs soient défectueux.

Partie B

1. Soit $t$ un réel positif. $$p(X\leqslant t)=\displaystyle\int_{0}^{t}\lambda e^{-\lambda x}\;dx=\left[-e^{-\lambda x}\right]_0^t=1-e^{-\lambda t}$$

   puis $p(X>t)=1-p(X\leqslant t)=1-(1-e^{-\lambda t})=e^{-\lambda t}$. Par suite

   $$p(X>5)=0,4\Leftrightarrow e^{-5\lambda}=0,4\Leftrightarrow-5\lambda=\ln\left(\dfrac{2}{5}\right)\Leftrightarrow5\lambda=\ln\left(\dfrac{5}{2}\right)\Leftrightarrow\lambda=\dfrac{1}{5}\ln\left(\dfrac{5}{2}\right).$$

   avec $\dfrac{1}{5}\ln\left(\dfrac{5}{2}\right)=0,18$ à $10^{-2}$ près.



2. La probabilité demandée est $p_{X>3}(X>5)$. \begin{align*} p_{X>3}(X>5)&=\dfrac{p((X>5)\cap(X>3))}{p(X>3)}=\dfrac{p(X>5)}{p(X>3)}=\dfrac{e^{-5\times0,18}}{e^{-3\times0,18}}=\dfrac{e^{-0,9}}{e^{-0,54}}=e^{-0,36}\\ &=0,698\;\text{à}\;10^{-3}\;\text{près par excès}. \end{align*}


3. 1. Notons $X$ le nombre d'ordinateurs dont la durée de vie est supérieure à $5$ ans. La variable aléatoire $X$ est régie par un schéma de \textsc{Bernoulli}. En effet,
      
      
      • $10$ expériences identiques et indépendantes sont effectuées ;
      • chaque expérience a deux issues~:~\og l'ordinateur a une durée de vie supérieure à $5$ ans \fg~avec une probabilité $p=0,4$ ou \og l'ordinateur a une durée de vie inférieure à $5$ ans \fg~avec une probabilité $1-p=0,6$.

      La variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,4$.

      La probabilité demandée est $p(X\geqslant1)$. Or

      $p(X\geqslant1)=1-p(X=0)=1-\dbinom{10}{0}\left(0,4\right)^0\left(0,6\right)^{10}=1-0,6^{10}=0,994$ arrondi au millième.
   
   
   2. Dans cette question $n$ est un entier naturel non nul quelconque et $p(X\geqslant1)=1-0,6^n$. Puis \begin{align*} p(X\geqslant1)\geqslant0,999&\Leftrightarrow1-0,6^n\geqslant0,999\Leftrightarrow0,001\geqslant0,6^n\\ &\Leftrightarrow\ln(0,001)\geqslant\ln(0,6^n)\;(\text{par stricte croissance de la fonction}\;\ln\;\text{sur}\;]0,+\infty[)\\ &\Leftrightarrow n\ln(0,6)\leqslant\ln(0,001)\Leftrightarrow n\geqslant\dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,6)}\;(\text{car}\;\ln(0,6)< 0)\\ &\Leftrightarrow n\geqslant13,5\ldots\\ &\Leftrightarrow n\geqslant14\;(\text{car}\;n\;\text{est un entier}). \end{align*}

      Le nombre minimal d'ordinateurs que l'on doit choisir pour que la probabilité que l'un au moins des ordinateurs ait une durée de vie supérieure à $5$ ans soit supérieure à $0,999$ est $14$.