Antilles Guyane 2012. Enseignement de spécialité

EXERCICE 4 (5 points)

Les quatre questions sont indépendantes.

    1. Vérifier que le couple $(4,6)$ est une solution de l'équation
      $(E)$\quad$11x-5y=14$.

    2. Déterminer tous les couples d'entiers relatifs $(x,y)$ vérifiant l'équation $(E)$.

    1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,
      $2^{3n}\equiv1\quad(\text{mod}\;7)$.

    2. Déterminer le reste de la division euclidienne de $2011^{2012}$ par $7$.

    1. Montrer que le PGCD de $a=3n+1$ et $b=2n+3$ est égal à $1$ ou $7$.

    2. Déterminer le PGCD de $a=3n+1$ et $b=2n+3$ suivant les valeurs de $n$.

  4. On considère l'algorithme suivant où Ent$\left(\dfrac{A}{N}\right)$ désigne la partie entière de $\dfrac{A}{N}$.
    A et N sont des entiers naturels,
    Saisir $A$
    $N$ prend la valeur $1$
    Tant que $N\leqslant\sqrt{A}$
    Si $\dfrac{A}{N}-$Ent$\left(\dfrac{A}{N}\right)=0$ alors Afficher $N$ et $\dfrac{A}{N}$.
    Fin Si
    $N$ prend la valeur $N+1$
    Fin Tant que.

    Quels résultats affiche cet algorithme pour $A=12$ ?
    Que donne cet algorithme dans le cas général ?