2012AntillesGuyaneSpecialiteExo4Arithmetique

EXERCICE 4

1. $11\times4-5\times6=44-30=14$ et donc le couple $(x_0,y_0)=(4,6)$ est une solution de l'équation $(E)$.
2. Soit $(x,y)$ un couple d'entiers relatifs. $11x-5y=14\Leftrightarrow11x-5y=11x_0-5y_0\Leftrightarrow11(x-x_0)=5(y-y_0)$.
  Soit $(x,y)$ une solution de $(E)$.
  Nécessairement l'entier $5$ divise l'entier $5(y-y_0)=11(x-x_0)$. Puisque $5$ est premier à $11$ (car les entiers $5$ et $11$ sont des nombres premiers distincts), le théorème de \textsc{Gauss} permet d'affirmer que $5$ divise $x-x_0$. Par suite, il existe un entier relatif $k$ tel que $x-x_0=5k$ ou encore $x=x_0+5k$.
  De même, il existe nécessairement un entier relatif $k'$ tel que $y=y_0+11k'$.
  
  Soient alors $k$ et $k'$ deux entiers relatifs puis $x=x_0+5k$ et $y=y_0+11k'$.
  \begin{align*} 11x-5y=14&\Leftrightarrow11(x_0+5k)-5(y_0+11k')=14\Leftrightarrow11x_0-5y_0+5\times11\times(k-k')=14\\ &\Leftrightarrow5\times11\times(k-k')=0\Leftrightarrow k=k'. \end{align*}
  Finalement,
  
  les couples d'entiers relatifs solutions de $(E)$ sont les couples de la forme $(4+5k,6+11k)$ où $k\in\mbz$.

1. Soit $n\in\mbn$. $2^3=8=1+7$ et donc $2^3\equiv1\;(\text{mod}\;7)$ puis $\left(2^3\right)^n\equiv1^n\;(\text{mod}\;7)$ ou encore $2^{3n}\equiv1\;(\text{mod}\;7)$.
  Pour tout entier naturel $n$, $2^{3n}\equiv1\;(\text{mod}\;7)$.
2. $2011=287\times7+2$ et donc $2011\equiv2\;(\text{mod}\;7)$ puis $2011^{2012}\equiv2^{2012}\;(\text{mod}\;7)$.
  $2012=3\times670+2$ et donc $2^{2012}=2^2\times2^{3\times670}$. La question a) permet alors d'écrire que $2^{3\times670}\equiv1\;(\text{mod}\;7)$ et donc $2^{2012}\equiv2^2\times1\;(\text{mod}\;7)$ ou encore $2^{2012}\equiv4\;(\text{mod}\;7)$.
  
  Finalement, $2011^{2012}\equiv4\;(\text{mod}\;7)$. Comme $0\leqslant 4< 7$, on a montré que
  
  le reste de la division euclidienne de $2011^{2012}$ par $7$ est $4$.

1. Soit $d$ le PGCD de $a$ et de $b$. L'entier $d$ divise $a=3n+1$ et $b=2n+3$ et donc l'entier $d$ divise l'entier $$3a-2b=3(2n+3)-2(3n+1)=7.$$
  On en déduit que $d=1$ ou $d=7$.
2. Si $d=7$, nécessairement $3n+1$ est divisible par $7$ ou encore $3n+1\equiv0\;(\text{mod}\;7)$. Or, \begin{align*} 3n+1\equiv0\;(\text{mod}\;7)&\Rightarrow3n\equiv-1\;(\text{mod}\;7)\Rightarrow2\times3n\equiv2\times(-1)\;(\text{mod}\;7)\Rightarrow6n\equiv-2\;(\text{mod}\;7)\\ &\Rightarrow-n\equiv-2\;(\text{mod}\;7)\Rightarrow n\equiv2\;(\text{mod}\;7). \end{align*}
  Donc, si $d=7$, nécessairement $n\equiv2\;(\text{mod}\;7)$.
  
  Réciproquement, soit $n$ un entier naturel tel que $n\equiv2\;(\text{mod}\;7)$. Alors,
  - $3n+1\equiv3\times2+1\;(\text{mod}\;7)$ ou encore $3n+1\equiv0\;(\text{mod}\;7)$ ;
  - $2n+3\equiv2\times2+3\;(\text{mod}\;7)$ ou encore $2n+3\equiv0\;(\text{mod}\;7)$.
  Donc, si $n\equiv2\;(\text{mod}\;7)$, alors les entiers $a$ et $b$ sont divisibles par $7$ et donc $d=7$.
  On a montré que
  
  pour tout entier naturel $n$, $\text{PGCD}(3n+1,2n+3)=\left\{ \begin{array}{l} 7\;\text{si}\;n\equiv2\;(\text{mod}\;7)\\ 1\;\text{sinon} \end{array} \right.$.

Puisque $9\leqslant\sqrt{12}< 16$, $\sqrt{12}=3,\ldots$.

Etape 1. $N=1$ puis $\dfrac{12}{1}-Ent\left(\dfrac{12}{1}\right)=0$. Donc l'algorithme affiche : $1$ et $12$ puis $N=2$.

Etape 2. $2\leqslant\sqrt{12}$ puis $\dfrac{12}{2}-Ent\left(\dfrac{12}{2}\right)=0$. Donc l'algorithme affiche : $2$ et $6$ puis $N=3$.

Etape 3. $3\leqslant\sqrt{12}$ puis $\dfrac{12}{3}-Ent\left(\dfrac{12}{3}\right)=0$. Donc l'algorithme affiche : $3$ et $4$ puis $N=4$.

Etape 4. $4>\sqrt{12}$. Donc l'algorithme s'arrête.

Au bout du compte, l'algorithme affiche

1	12
2	6
3	4

c'est-à-dire la liste des diviseurs de $12$. De manière générale, la condition $\dfrac{A}{N}-\text{Ent}\left(\dfrac{A}{N}\right)=0$ équivaut au fait que $N$ est un diviseur de $A$ et donc

l'algorithme donne la liste de tous les diviseurs d'un entier donné.

Antilles Guyane 2012. Enseignement de spécialité

EXERCICE 4