Antilles Guyane 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 2

  1. Graphique.
    2. image/svg+xml12 − 1 − 2 − 312 − 1 − 2 − 3 O

    1. $\dfrac{b}{a}=\dfrac{-2-i}{-1+2i}=\dfrac{i(-1+2i)}{-1+2i}=i$.

    2. On en déduit que $\left|\dfrac{b}{a}\right|=|i|=1$ et $\text{arg}\left(\dfrac{b}{a}\right)=\text{arg}(i)=\text{arg}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]$.

    3. $\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)=\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{u}\right)+\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OB}\right)=-\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OA}\right)+\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OB}\right)=-\text{arg}(a)+\text{arg}(b)=\text{arg}\left(\dfrac{b}{a}\right)\;[2\pi]$.

    4. $\left|\dfrac{b}{a}\right|=\dfrac{|b|}{|a|}=\dfrac{OB}{OA}$ et puisque $\left|\dfrac{b}{a}\right|=1$, on en déduit que $OA=OB$. Donc, le triangle $OAB$ est isocèle en $O$.
      Puisque $\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)=\text{arg}\left(\dfrac{b}{a}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]$, le triangle $OAB$ est rectangle en $O$.
      Finalement

      le triangle $OAB$ est isocèle rectangle en $O$.


    1. $c'=\dfrac{-3+i+1-2i}{-3+i+2+i}=\dfrac{-2-i}{-1+2i}=\dfrac{b}{a}=i$.

      Le point $C'=f(C)$ a donc pour coordonnées $(0,1)$.


    2. Soit $M$ un point du plan distinct de $B$ d'affixe $z$. \begin{align*} |z'|=1&\Leftrightarrow\dfrac{|z+1-2i|}{|z+2+i|}=1\Leftrightarrow|z-(-1+2i)|=|z-(-2-i)|\;(\text{et}\;z\neq-2-i)\\ &\Leftrightarrow AM=BM\;(\text{et}\;M\neq B)\\ &\Leftrightarrow AM=BM\;(\text{car si}\;M=B,\;\text{alors}\;AM\neq BM)\\ &\Leftrightarrow M\in\text{med}[AB]. \end{align*}

      L'ensemble $\mathscr{E}$ est la médiatrice du segment $[AB]$.


    3. $\left|z_{O'}\right|=\left|\dfrac{1-2i}{2+i}\right|=\left|\dfrac{b}{a}\right|=1$. Donc $O\in \mathscr{E}$.
      $|c'|=|i|=1$. Donc $C\in\mathscr{E}$.

      Puisque $\mathscr{E}$ est une droite, $\mathscr{E}$ est la droite $(OC)$.


    • $z_J=-iz_A=-i(-1+2i)=2+i$ et $z_K=iz_C=i(-3+i)=-1-3i$. Donc le point $J$ a pour coordonnées $\left(2,1\right)$ et le point $K$ a pour coordonnées $\left(-1,-3\right)$.

    • Le milieu $L$ du segment $[JK]$ a pour affixe $z_L=\dfrac{z_J+z_K}{2}=\dfrac{2+i-1-3i}{2}=\dfrac{1}{2}-i$. Donc le point $L$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2},-1\right)$.

    • La médiane issue de $O$ du triangle $OJK$ est la droite $(OL)$. Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{OL}$ sont $\left(\dfrac{1}{2},-1\right)$ et les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AC}$ sont $(-3-(-1),1-2)$ ou encore $(-2,-1)$.
      $\overrightarrow{OL}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\times(-2)+(-1)\times(-1)=0$.

      Par suite, les vecteurs $\overrightarrow{OL}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux ou encore la droite $(OL)$ est perpendiculaire à la droite $(AC)$.
      Ainsi, la droite $(OL)$ est également la hauteur issue de $O$ du triangle $OAC$.