EXERCICE 2 (4 points) (commun à tous les candidats)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.
On réalisera sur une feuille de papier millimétré une figure en prenant pour unité 2 cm. On complètera cette figure
au fur et à mesure des questions.
On considère les points $A$, $B$ et $C$ du plan complexe d'affixes respectives
$$a=-1+2i\quad ;\quad b=-2-i\quad ;\quad c=-3+i.$$
- Placer les points $A$, $B$ et $C$ sur le graphique.
-
- Calculer $\dfrac{b}{a}$.
- Déterminer le module et un argument de $\dfrac{b}{a}$.
- Montrer que $\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)=\text{arg}\left(\dfrac{b}{a}\right)\;[2\pi]$.
- Déduire des questions précédentes la nature du triangle $OAB$.
- On considère l'application $f$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ avec $z\neq b$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par
$z'=\dfrac{z+1-2i}{z+2+i}$.
- Calculer l'affixe $c'$ du point $C'$, image de $C$ par $f$ et placer le point $C'$ sur la figure.
- Déterminer l'ensemble $\mathscr{E}$ des points $M$ d'affixe $z$ avec $z\neq b$, tels que $|z'|=1$.
- Justifier que $\mathscr{E}$ contient les points $O$ et $C$. Tracer $\mathscr{E}$.
- Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l'évaluation.
On appelle $J$ le point d'affixe $-ia$.
On appelle $K$ le point d'affixe $ic$.
On note $L$ le milieu de $[JK]$.
Démontrer que la médiane issue de $O$ du triangle $OJK$ est la hauteur issue de $O$ du triangle $OAC$.