EXERCICE 1 (6 points) (commun à tous les candidats)
Les parties B et C sont indépendantes.
On note $\mathbb{R}$ l'ensemble des nombres réels et on considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x)=xe^{x-1}+1$.
On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.
Partie A : étude de la fonction
Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathscr{C}$ ?
Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
On admet que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=(x+1)e^{x-1}$.
Etudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ et dresser son tableau de variation sur $\mathbb{R}$.
Partie B : recherche d'une tangente
Soit $a$ un réel strictement positif. Le but de cette partie est de rechercher s'il existe une tangente à la courbe
$\mathscr{C}$ au point d'abscisse $a$, qui passe par l'origine du repère.
On appelle $T_a$ la tangente à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $a$. Donner une équation de $T_a$.
Démontrer qu'une tangente à $\mathscr{C}$ en un point d'abscisse $a$ strictement positive passe par l'origine
si et seulement si $a$ vérifie l'égalité
$1-a^2e^{a-1}=0$.
Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l'évaluation.
Démontrer que $1$ est l'unique solution sur l'intervalle $]0,+\infty[$ de l'équation
$1-x^2e^{x-1}=0$.
Donner une équation de la tangente recherchée.
Partie C : calcul d'aire
Le graphique donné en \textbf{Annexe 1} représente la courbe $\mathscr{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\left(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.
Construire sur ce graphique la droite $\Delta$ d'équation $y=2x$. On admet que la courbe $\mathscr{C}$ est
au-dessus de la droite $\Delta$. Hachurer le domaine $\mathscr{D}$ limité par la courbe $\mathscr{C}$, la droite $\Delta$, la droite
d'équation $x=1$ et l'axe des ordonnées.
On pose $I=\displaystyle\int_{0}^{1}xe^{x-1}\;dx$.
Soient $a$ et $b$ deux réels. Pour tout réel $x$, on pose $G(x)=(ax+b)e^{x-1}$.
Déterminer les réels $a$ et $b$ de sorte que $G$ soit une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $x\mapsto xe^{x-1}$.
En déduire que $I=\dfrac{1}{e}$.
En déduire la valeur exacte (en unités d'aire) de l'aire du domaine $\mathscr{D}$.