Antilles Guyane 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 1

1. Pour tout réel $x$, $f(x)=xe^{x-1}+1=1+\dfrac{1}{e}\times(xe^x)$. Un théorème de croissances comparées permet d'affirmer que $\dlim{x}{-\infty}xe^x=0$. Par suite, $\dlim{x}{-\infty}f(x)=1+\dfrac{1}{e}\times0=1$.

   $\dlim{x}{-\infty}f(x)=1$.

   On en déduit que la droite d'équation $y=1$ est asymptote à la courbe $\mathscr{C}$ en $-\infty$.



2. $\dlim{x}{+\infty}e^{x-1}=\dlim{X}{+\infty}e^X=+\infty$ et $\dlim{x}{+\infty}x=+\infty$. En multipliant, on obtient $\dlim{x}{+\infty}xe^{x-1}=+\infty$ puis $\dlim{x}{+\infty}f(x)=+\infty$.

   $\dlim{x}{+\infty}f(x)=+\infty$.



3. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$, \begin{align*} f'(x)&=0+1\times e^{x-1}+x\times(x-1)'e^{x-1}+0=e^{x-1}+xe^{x-1}\\ &=(x+1)e^{x-1}. \end{align*}

   Pour tout réel $x$, $f'(x)=(x+1)e^{x-1}$.



4. Pour tout réel $x$, $e^{x-1}>0$. Par suite, pour tout réel $x$, $f'(x)$ est du signe de $x+1$.
   Ainsi, la fonction $f'$ est strictement négative sur $]-\infty,-1[$, strictement positive sur $]-1,+\infty[$ et s'annule en $-1$. On en déduit le tableau de variation de $f$.

1. Soit $a>0$. $f(a)=ae^{a-1}+1$ et $f'(a)=(a+1)e^{a-1}$. Par suite, une équation de la tangente $T_a$ est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ ou encore $y=(a+1)e^{a-1}(x-a)+ae^{a-1}+1$ ou enfin $y=(a+1)e^{a-1}x-a^2e^{a-1}+1$.

   Une équation de $T_a$ est $y=(a+1)e^{a-1}x+1-a^2e^{a-1}$.



2. $T_a$ passe par $O(0,0)$ si et seulement $0=(a+1)e^{a-1}\times0+1-a^2e^{a-1}$ ou encore $1-a^2e^{a-1}=0$.

   $O\in T_a\Leftrightarrow 1-a^2e^{a-1}=0$.



3. $1-1^2e^{1-1}=1-e^0=0$ et donc $1$ est une solution de l'équation $(E)$ : $1-x^2e^{x-1}$ sur $]0,+\infty[$.

   Montrons que $1$ est l'unique solution de $(E)$ sur $]0,+\infty[$.

   Pour tout réel $x>0$, posons $g(x)=1-x^2e^{x-1}$. $g$ est dérivéble sur $]0,+\infty[$ et pour tout réel $x>0$,

   $$g'(x)=-\left(2xe^{x-1}+x^2e^{x-1}\right)=-x(x+2)e^{x-1}.$$

   Pour tout réel $x>0$, on a $x>0$ et $x+2>0$ et $e^{x-1}>0$. Donc, pour tout réel $x>0$, $g'(x)< 0$. Ainsi, la fonction $g$ est strictement décroissante sur $]0,+\infty[$. On en déduit que si $0g(1)$ ou encore $g(x)>0$ et si $x>1$, $g(x)< g(1)$ ou encore $g(x)<0$.

   En particulier, pour tout réel $x$ de $]0,1[\cup]1,+\infty[$, $g(x)\neq0$. On en déduit que $1$ est donc l'unique solution de l'équation $1-x^2e^{x-1}=0$.

   $1$ est l'unique solution de l'équation $1-x^2e^{x-1}=0$.



4. Si $a=1$, l'équation obtenue à la question 1) s'écrit $y=2x$.

   $O\in T_a\Leftrightarrow a=0$ et une équation de $T_0$ est $y=2x$.

1. Graphique


2. 1. $G$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$, $$G'(x)=ae^{x-1}+(ax+b)e^{x-1}=(ax+a+b)e^{x-1}.$$

      Par suite,

      \begin{align*} \text{pour tout réel}\;x,\;G'(x)=xe^{x-1}&\Leftrightarrow\text{ pour tout réel}\;x,\;(ax+a+b)e^{x-1}=xe^{x-1}\\ &\Leftrightarrow\text{ pour tout réel}\;x,\;ax+a+b=x\;(\text{car pour tout réel}\;x,\;e^{x-1}\neq0)\\ &\Leftarrow a=1\;\text{et}\;a+b=0\Leftarrow a=1\;\text{et}\;b=-1 \end{align*}

      Une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $x\mapsto xe^{x-1}$ est donc la fonction $x\mapsto(x-1)e^{x-1}$.

   
   
   2. On en déduit que $$I=\dint{0}{1}xe^{x-1}\;dx=\left[(x-1)e^{x-1}\right]_0^1=\dfrac{1}{e}.$$

      $I=\dfrac{1}{e}$.



3. La courbe $\mathscr{C}$ est au-dessus de la droite $\Delta$ sur $[0,1]$. Donc l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine $\mathscr{D}$ est \begin{align*} \mathscr{A}&=\dint{0}{1}(f(x)-2x)\;dx=\dint{0}{1}xe^{x-1}\;dx+\dint{0}{1}(1-2x)\;dx\;(\text{par linéarité de l'intégrale})\\ &=\dfrac{1}{e}+\left[x-x^2\right]_0^1=\dfrac{1}{e}+(1-1)-(0-0)=\dfrac{1}{e}. \end{align*}

   L'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine $\mathscr{D}$ est égale à $\dfrac{1}{e}$.