Antilles Guyane 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 3 (5 points) (commun à tous les candidats)

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ non nul par

$\left\{ \begin{array}{l} u_1=\dfrac{1}{2}\rule[-0.3cm]{0mm}{0mm}\\ u_{n+1}=\dfrac{n+1}{2n}u_n \end{array} \right.$.
  1. Calculer $u_2$, $u_3$ et $u_4$.

    1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ est strictement positif.
    2. Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
    3. Que peut-on en déduire pour la suite $(u_n)$ ?

  3. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose
    $v_n=\dfrac{u_n}{n}$.
    1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique. On précisera sa raison et son premier terme $v_1$.
    2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul,
      $u_n=\dfrac{n}{2^n}$.

  4. Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1;+\infty[$ par $f(x)=\ln x-x\ln2$.

    1. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
    2. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.