Antilles Guyane 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 3

1. • $u_2=u_{1+1}=\dfrac{1+1}{2\times1}u_1=\dfrac{1}{2}$.
   • $u_3=u_{2+1}=\dfrac{2+1}{2\times2}u_2=\dfrac{3}{4}u_2=\dfrac{3}{8}$.
   • $u_4=u_{3+1}=\dfrac{3+1}{2\times3}u_3=\dfrac{4}{6}u_3=\dfrac{4}{6}\times\dfrac{3}{8}=\dfrac{1}{4}$.

   $u_2=\dfrac{1}{2}$, $u_3=\dfrac{3}{8}$ et $u_4=\dfrac{1}{4}$.



2. 1. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel non nul $n$, $u_n>0$.
      
      
      • $u_1=\dfrac{1}{2}>0$.
      • Soit $n\geqslant1$. Supposons que $u_n>0$. Alors $u_{n+1}=\dfrac{n+1}{2n}u_n>0$.

      On a montré par récurrence que pour tout entier naturel non nul $n$, $u_n>0$.

   
   
   2. Soit $n\in\mbn^*$. On sait que $u_n\neq0$ puis $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{n+1}{2n}\leqslant\dfrac{n+n}{2n}=1$.

      Puisque $u_n>0$, on en déduit encore que $u_{n+1}\leqslant u_n$.

      On a montré que pour tout entier naturel non nul $n$, $u_{n+1}\leqslant u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.

      La suite $(u_n)$ est décroissante.

   
   
   3. La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$. Donc la suite $(u_n)$ converge vers un réel positif ou nul.

      La suite $(u_n)$ est convergente vers un réel positif ou nul.



3. 1. $v_1=\dfrac{u_1}{1}=\dfrac{1}{2}$. Soit $n\in\mbn^*$. $v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}}{n+1}=\dfrac{1}{n+1}\times\dfrac{n+1}{2n}u_n=\dfrac{u_n}{2n}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{u_n}{n}=\dfrac{1}{2}v_n$.

      Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de premier terme $v_1=\dfrac{1}{2}$ et de raison $q=\dfrac{1}{2}$.

   
   
   2. On sait alors que pour tout entier naturel non nul $n$, $v_n=v_1q^{n-1}=\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\dfrac{1}{2^n}$.

      Mais alors, pour tout entier naturel non nul $n$, $u_n=nv_n=\dfrac{n}{2^n}$.

      Pour tout entier naturel non nul $n$, $u_n=\dfrac{n}{2^n}$.



4. 1. Pour tout réel $x\geqslant1$, $f(x)=x\left(-\ln2+\dfrac{\ln x}{x}\right)$. D'après un théorème de croissances comparées, $\dlim{x}{+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$. On en déduit que $\dlim{x}{+\infty}-\ln2+\dfrac{\ln x}{x}=-\ln2< 0$. Comme d'autre part $\dlim{x}{+\infty}x=+\infty$, $\dlim{x}{+\infty}f(x)=\dlim{x}{+\infty}x\left(-\ln2+\dfrac{\ln x}{x}\right)=-\infty$.
   
   
   2. On sait déjà que la suite $(u_n)$ converge. Ensuite, pour tout entier naturel non nul $n$, $u_n=\dfrac{n}{2^n}=\dfrac{e^{\ln n}}{e^{n\ln2}}=e^{\ln n-n\ln 2}=e^{f(n)}$.

      D'après la question précédente, $\dlim{n}{+\infty}f(n)=-\infty$ et donc

      $\dlim{n}{+\infty}u_n=\dlim{n}{+\infty}e^{f(n)}=\dlim{X}{-\infty}e^X=0$.

      $\dlim{n}{+\infty}u_n=0$.