- On note $F$ l'événement \og l'élève choisi est une fille \fg~et $G$ l'événement \og l'élève choisi est un garçon \fg~(de sorte que $G=\overline{F}$). Enfin, on note $C$ l'événement
\og l'élève déjeune à la cantine \fg.
L'énoncé donne $p(F)=0,55$ et donc $p(G)=1-0,55=0,45$ puis $p_F(C)=0,35$ et donc $p_F\left(\overline{C}\right)=1-0,35=0,65$ puis $p_G(C)=0,3$ et donc $p_G\left(\overline{C}\right)=1-0,3=0,7$.
Représentons la situation par un arbre.
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La probabilité demandée est $p\left(\overline{C}\right)$. D'après la formule des probabilités totales,
\begin{align*}
p\left(\overline{C}\right)&=p\left(F\cap\overline{C}\right)+p\left(G\cap\overline{C}\right)=p(F)\times p_F\left(\overline{C}\right)+p(G)\times p_G\left(\overline{C}\right)\\
&=0,55\times0,65+0,45\times0,7=0,6725
\end{align*}
La probabilité que l'élève ne déjeune pas à la cantine est $0,6725$.
- Notons $X$ la variable aléatoire égale aux nombres de jetons portant un numéro pair obtenus au cours d'un tirage de trois jetons successivement et avec remise.
La variable aléatoire $X$ suit un schéma de \textsc{Bernoulli}. En effet :
- $3$ expériences identiques et indépendantes sont effectuées (tirer trois fois un jeton parmi dix) ;
- chaque expérience a deux issues à savoir \og tirer un jeton portant un numéro pair \fg~avec une probabilité $p=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$
et \og tirer un jeton ne portant pas un numéro pair \fg~avec une probabilité $1-p=\dfrac{1}{2}$.
La variable aléatoire $X$ est donc régie par une loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=\dfrac{1}{2}$.
La probabilité demandée est $p\left(X\geqslant1\right)$. Or
$p\left(X\geqslant1\right)=1-p\left(X=0\right)=1-\dbinom{3}{0}\left(\dfrac{1}{2}\right)^0\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=1-\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{8}$.
La probabilité demandée est $\dfrac{7}{8}$.
- On sait que pour tout entier naturel $k$ tel que $0\leqslant k\leqslant 20$,
$p(Y=k)=\dbinom{20}{k}\left(\dfrac{1}{5}\right)^k\left(1-\dfrac{1}{5}\right)^{20-k}$,
et donc
$p(Y\geqslant2)=1-p(Y=0)-p(Y=1)=1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^{20}-10\times\left(\dfrac{1}{5}\right)\times\left(\dfrac{4}{5}\right)^{19}=0,956\ldots$
$p(Y\geqslant2)=0,956$ à $10^{-3}$ près par défaut.
- Posons plus simplement $p(F)=p$.
L'énoncé donne $p(A)=0,02$ et $p(A\cup F)=0,069$. D'autre part, puisque les événements $A$ et $F$ sont indépendants, $p(A\cap F)=p(A)\times p(F)=0,02p$.
$0,069=p(A\cup F)=p(A)+p(F)-p(A\cap F)=0,02+p-0,02p=0,02+0,98p$,
et donc
$p=\dfrac{0,069-0,02}{0,98}=\dfrac{0,049}{0,98}=\dfrac{49}{980}=\dfrac{1}{20}=0,05$.
$p(F)=0,05$.
- Dans cet algorithme, on recommence $n=9$ fois une même expérience : choisir un nombre au hasard entre $1$ et $7$. A chaque expérience, on a deux éventualités : \og le nombre obtenu
est $6$ ou $7$ (le succès)\fg~avec une probabilité $p=\dfrac{2}{7}$ ou \og ne pas obtenir $6$ ou $7$ (l'échec)\fg~avec une probabilité $1-p=\dfrac{5}{7}$. De plus, au cours des $9$ expériences,
la probabilité d'obtenir $6$ ou $7$ ne varie pas en fonction des résultats précédemment obtenus ou encore les $9$ expériences sont indépendantes les unes des autres.
La variable $C$ est un compteur : à la fin des neuf expériences, la variable $C$ contient le nombre de fois où on a obtenu un résultat égal à $6$ ou $7$ ou encore la variable $X$ donne le
nombre de succès en $9$ tentatives. Finalement,
$X$ suit une loi binomiale de paramètre $n=9$ et $p=\dfrac{2}{7}$.