EXERCICE 2 (5 points) (candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.
On considère le points $A$, d'affixe $z_A=-\sqrt{3}+i$, le point $A_1$ d'affixe $z_{A_1}=\overline{z_A}$ où $\overline{z_A}$ désigne le conjugué de $z_A$.
On note enfin $B$ le point d'affixe $z_B=e^{i\frac{\pi}{6}}z_{A_1}$.
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- Ecrire le nombre complexe $z_A$ sous forme exponentielle, puis placer les points $A$ et $A_1$, dans le repère. On prendra 2 cm
comme unité graphique.
- Vérifier que $z_B=2e^{-\frac{2i\pi}{3}}$ sous forme exponentielle, puis écrire le nombre complexe $z_B$ sous forme algébrique.
Placer alors le point $B$ dans le même repère.
- On considère le vecteur unitaire $\overrightarrow{w}$ tel que $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{w}\right)=\dfrac{\pi}{12}$ et la droite
$\Delta$ passant par $O$ de vecteur directeur $\overrightarrow{w}$.
- Démontrer que le triangle $OAB$ est rectangle isocèle en $O$.
- Tracer la droite $\Delta$.
- Montrer que $\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{w}\right)=\text{arg}\left(\dfrac{z_{\overrightarrow{w}}}{z_A}\right)\;[2\pi]$. On admettra que $\left(\overrightarrow{w},\overrightarrow{OB}\right)=\text{arg}\left(\dfrac{z_B}{z_{\overrightarrow{w}}}\right)\;[2\pi]$.
- Montrer que $\Delta$ est la bissectrice de l'angle $\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)$.
En déduire que les points $A$ et $B$ sont symétriques par rapport à la droite $\Delta$.
- On note $B_1$ le symétrique de $B$ par rapport à l'axe $\left(O;\overrightarrow{u}\right)$ puis $B'$ le point d'affixe
$z_{B'}=e^{i\frac{\pi}{6}}z_{B_1}$.
Démontrer que $B'=A$.
- Dans cette question, toute trace de recherche ou d'initiative, même non aboutie, sera prise en compte dans l'évaluation.
Soit $C$ le point d'affixe $\sqrt{2}(1+i)$ et $D$ le symétrique de $C$ par rapport à la droite $\Delta$.
Construire les points $C$ et $D$, puis calculer l'affixe du point $D$ sous forme exponentielle.