Asie 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 1

1. Soient $t$ un réel puis $M(1-2t,t,-5-4t)$ un point quelconque de $\mathscr{D}$ $$3x_M+2y_M-z_M-5=3(1-2t)+2(t)-(-5-4t)-5=3\neq0.$$

   Donc, $M$ n'appartient pas au plan $\mathscr{P}$. Ainsi, $\mathscr{P}$ ne contient aucun point de la droite $\mathscr{D}$ et on en déduit que la droite $\mathscr{D}$ est strictement parallèle au plan $\mathscr{P}$. L'affirmation 1 est vraie.



2. Tout d'abord, $$4x_H-y_H-z_H+3=4\times2-2-9+3=0.$$

   Donc, le point $H$ appartient au plan $\mathscr{P}$.

   Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ est le vecteur $\overrightarrow{n}$ de coordonnées $(4,-1,-1)$. Le vecteur $\overrightarrow{AH}$ a pour coordonnées $(1,-7,9)$.
   Le vecteur $\overrightarrow{AH}$ n'est pas colinéaire au vecteur $\overrightarrow{n}$. En effet, s'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{n}=k\overrightarrow{AH}$, $k$ doit vérifier $k=4$ et aussi $-7k=-1$ ce qui est impossible.

   On en déduit que la droite $(AH)$ n'est pas orthogonale au plan $\mathscr{P}$ et donc que le point $H$ n'est pas le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $\mathscr{P}$. L'affirmation 2 est fausse.



3. $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}e^{-2x}=\displaystyle\lim_{X\rightarrow+\infty}e^X=+\infty$ puis $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}1+e^{-2x}=+\infty$. Par passage à l'inverse, on obtient $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{1}{1+e^{-2x}}=0$ puis après multiplication par $3$, $$\dlim{x}{-\infty}f(x)=0.$$

   On en déduit que la droite d'équation $y=0$ est asymptote à $\mathscr{C}$ en $-\infty$.
   $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}e^{-2x}=\displaystyle\lim_{X\rightarrow-\infty}e^X=0$ puis

   $$\dlim{x}{+\infty}f(x)=\dfrac{3}{1+0}=3.$$

   On en déduit que la droite d'équation $y=3$ est asymptote à $\mathscr{C}$ en $+\infty$. L'affirmation 3 est vraie.



4. Pour tout réel $t\in[1;1,5]$, on a successivement $t\leqslant 1,5$ puis $-t\geqslant -1,5$ puis $2-t\geqslant0,5$ puis $(2-t)e^{-t}\geqslant0,5e^{-t}$ car $e^{-t}>0$.

   Ensuite, puisque $-t\geqslant -1,5$, on a $e^{-t}\geqslant e^{-1,5}$ par croissance de la fonction exponentielle sur $\mathbb{R}$. On en déduit que $(2-t)e^{-t}\geqslant0,5e^{-t}\geqslant0,5e^{-1,5}$.

   Finalement, pour tout réel $t\in[1;1,5]$,

   $$(2-t)e^{-t}\geqslant0,5e^{-1,5}.$$

   Par croissance de l'intégrale, on en déduit que

   $F(1,5)=\displaystyle\int_{1}^{1,5}(2-t)e^{-t}\;dt\geqslant\displaystyle\int_{1}^{1,5}0,5e^{-1,5}\;dt=(1,5-1)\times0,5e^{-1,5}=0,25e^{-1,5}>0$.

   Ainsi, il existe un réel $x_0\geqslant1$ à savoir $x_0=1,5$ tel que $F(x)>0$ et donc l'affirmation 4 est fausse.



5. Pour tout réel $t$ de $[1,6]$, posons $u(t)=2t+3$. Alors, pour tout réel $t$ de $[1,6]$, $u(t)>0$ et $$\dfrac{1}{2t+3}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{2t+3}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{u'(t)}{u(t)}.$$

   Par suite,

   \begin{align*} \displaystyle\int_{1}^{6}\dfrac{1}{2t+3}\;dt&=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{1}^{6}\dfrac{2}{2t+3}\;dt=\dfrac{1}{2}\left[\ln(2t+3)\right]_1^6=\dfrac{1}{2}(\ln(15)-\ln(5))=\dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{15}{5}\right)\\ &=\dfrac{1}{2}\ln(3). \end{align*}

   L'affirmation 5 est fausse.