Asie 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 3 (5 points)} \textbf{(commun à tous les candidats)


Soit $k$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$. Une urne contient $k$ boules noires et $3$ boules blanches.
Ces $k + 3$ boules sont indiscernables au toucher. Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux boules dans cette urne. On établit la règle de jeu suivante :

- un joueur perd 9 euros si les deux boules tirées sont de couleur blanche ;
- un joueur perd 1 euro si les deux boules tirées sont de couleur noire ;
- un joueur gagne 5 euros si les deux boules tirées sont de couleurs différentes ; on dit dans ce cas là qu'il gagne la partie.

Partie A

Dans la partie A, on pose $k=7$.
Ainsi l'urne contient $3$ boules blanches et $7$ boules noires indiscernables au toucher.

  1. Un joueur joue une partie. On note $p$ la probabilité que le joueur gagne la partie, c'est-à-dire la probabilité qu'il ait tiré deux boules de couleurs différentes. Démontrer que $p = 0,42$.

  2. Soit $n$ un entier tel que $n > 2$. Un joueur joue $n$ parties identiques et indépendantes.
    On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de parties gagnées par le joueur et $p_n$ la probabilité que le joueur gagne au moins une fois au cours des $n$ parties.

    1. Expliquer pourquoi la variable $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.

    2. Exprimer $p_n$ en fonction de $n$, puis calculer $p_{10}$ en arrondissant au millième.

    3. Déterminer le nombre minimal de parties que le joueur doit jouer afin que la probabilité de gagner au moins une fois soit supérieure à $99\%$.

Partie B

Dans la partie B, le nombre $k$ est un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
Un joueur joue une partie.
On note $Y_k$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.

    1. Justifier l'égalité : $p(Y_k = 5)= \dfrac{6k}{(k+3)^2}$.

    2. Écrire la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y_k$.

  2. On note $E(Y_k)$ l'espérance mathématique de la variable aléatoire $Y_k$.
    On dit que le jeu est favorable au joueur lorsque l'espérance $E(Y_k)$ est strictement positive.
    Déterminer les valeurs de $k$ pour lesquelles ce jeu est favorable au joueur.