Asie 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 4 (5 points) (commun à tous les candidats)

1. On considère l'algorithme suivant :

   Entrée	Saisir un réel positif non nul $a$ Saisir un réel positif non nul $b$ ($b>a$) Saisir un entier naturel non nul $N$
   Initialisation	Affecter à $u$ la valeur $a$ Affecter à $v$ la valeur $b$ Affecter à $n$ la valeur $0$
   Traitement	TANT QUE $n< N$ Affecter à $n$ la valeur $n+1$ Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{a+b}{2}$ Affecter à $v$ la valeur $\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$ Affecter à $a$ la valeur $u$ Affecter à $b$ la valeur $v$
   Sortie	Afficher $u$, afficher $v$.

   Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $a = 4$, $b = 9$ et $N = 2$. Les valeurs successives de $u$ et $v$ seront arrondies au millième.

   $n$	$a$	$b$	$u$	$v$
   $0$	$4$	$9$
   $1$
   $2$

   Dans la suite, $a$ et $b$ sont deux réels tels que $0 < a < b$. On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par :

   $u_0= a$, $v_0= b$

   et, pour tout entier naturel $n$ :

   $u_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2}$\quad et \quad$v_{n+1}=\sqrt{\dfrac{u_n^2+v_n^2}{2}}$.


2. 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n > 0$ et $v_n>0$.
   2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $v_{n+1}^2- u_{n+1}^2 =\left(\dfrac{u_n-v_n}{2}\right)^2$.
      En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\leqslant v_n$.


3. 1. Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
   2. Comparer $v_{n+1}^2$ et $v_n^2$. En déduire le sens de variation de la suite $(v_n)$.


4. Démontrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont convergentes.