Asie 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 4

1. 
   

   $n$	$a$	$b$	$u$	$v$
   $0$	$4$	$9$	$4$	$9$
   $1$	$6,5$	$6,964$	$6,5$	$6,964$
   $2$	$6,732$	$6,736$	$6,732$	$6,736$



2. 1. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n>0$ et $v_n>0$.
      
      
      • Pour $n=0$, on a $u_0=a>0$ et $v_0=b>0$. La proposition est donc vraie pour $n=0$.
      • Soit $n\geqslant0$. Supposons que $u_n>0$ et $v_n>0$. Alors $u_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2}>0$ et $v_{n+1}=\sqrt{\dfrac{u_n^2+v_n^2}{2}}>0$.

      On a montré par récurrence que

      pour tout entier naturel $n$, $u_n>0$ et $v_n>0$.

   
   
   2. Soit $n\in\mbn$. \begin{align*} v_{n+1}^2-u_{n+1}^2&=\dfrac{u_n^2+v_n^2}{2}-\left(\dfrac{u_n+v_n}{2}\right)^2=\dfrac{u_n^2+v_n^2}{2}-\dfrac{u_n^2+2u_nv_n+v_n^2}{4}\\ &=\dfrac{2u_n^2+2v_n^2-u_n^2-2u_nv_n-v_n^2}{4}=\dfrac{u_n^2-2u_nv_n+v_n^2}{4}\\ &=\dfrac{(u_n-v_n)^2}{4}=\left(\dfrac{u_n-v_n}{2}\right)^2. \end{align*}

      Soit $n\in\mbn^*$. D'après ce qui précède, $v_n^2-u_n^2=\left(\dfrac{u_{n-1}-v_{n-1}}{2}\right)^2\geqslant0$ puis $v_n^2\geqslant u_n^2$ puis $\sqrt{u_n^2}\leqslant\sqrt{v_n^2}$ et donc $u_n\leqslant v_n$ car $u_n$ et $v_n$ sont des nombres positifs.

      D'autre part, l'inégalité $a\leqslant b$ s'écrit encore $u_0\leqslant v_0$. Finalement,

      pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant v_n$.



3. 1. Soit $n\in\mbn$. $u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n+v_n}{2}-u_n=\dfrac{u_n+v_n-2v_n}{2}=\dfrac{v_n-u_n}{2}$.

      La question précédente permet alors d'affirmer que $v_-u_n\geqslant0$ et donc que $u_{n+1}-u_n\geqslant0$ puis que $u_{n+1}\geqslant u_n$.

      Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}\geqslant u_n$ et donc

      la suite $(u_n)$ est croissante.

   
   
   2. Soit $n\in\mbn$. $v_{n+1}^2-v_n^2=\dfrac{u_n^2+v_n^2}{2}-v_n^2=\dfrac{u_n^2-v_n^2}{2}=\dfrac{(u_n-v_n)(u_n+v_n)}{2}$.

      D'après les questions \textbf{2)a)} et \textbf{b)}, on a $v_{n+1}^2-v_n^2\leqslant0$ ou encore $v_{n+1}^2\leqslant v_n^2$. On en déduit que $v_{n+1}\leqslant v_n$ car $v_n$ et $v_{n+1}$ sont des réels positifs.

      Puisque pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}\leqslant v_n$,

      la suite $(v_n)$ est décroissante.



4. Pour tout entier naturel $n$, on a $u_0\leqslant u_n$ car la suite $(u_n)$ est croissante. De même, pour tout entier naturel $n$, on a $v_0\geqslant v_n$. Mais alors, d'après la question 2)b), pour tout entier naturel $n$, $u_0\leqslant u_n\leqslant v_n\leqslant v_0$.

   La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $v_0$. On en déduit que la suite $(u_n)$ converge. De même, la suite $(v_n)$ est décroissante et minorée par $v_0$ et on en déduit que la suite $(v_n)$ converge.

   Les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont convergentes.