EXERCICE 2 (5 points) (commun à tous les candidats)
On considère la suite $(I_n)$ définie pour $n$ entier naturel non nul par :
$I_n=\displaystyle\int_0^1x^ne^{x^2}\;dx$.
Pour tout entier naturel non nul $n$ et tout réel $x$, on pose $g_n(x)=x^ne^{x^2}$.
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- Démontrer que la fonction $G_1$ définie sur $\mathbb{R}$ par $G_1(x) =\dfrac{1}{2}e^{x^2}$ est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $g_1$.
- En déduire la valeur de $I_1$.
- Pour tout entier naturel non nul $n$ et tout réel $x$, on pose $h_n(x)=x^n$.
Montrer que pour tout réel $x$, $\left(h_{n+1}\times G_1\right)'(x)=g_{n+2}(x)+\dfrac{n+1}{2}g_n(x)$.
- En déduire que, pour tout entier naturel $n$, supérieur ou égal à $1$,
on a :
$I_{n+2}=\dfrac{1}{2}e-\dfrac{n+1}{2}I_n$.
- Calculer $I_3$ et $I_5$
- On considère l'algorithme suivant :
| Initialisation |
Affecter à $n$ la valeur $1$
Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1}{2}e-\dfrac{1}{2}$ |
| Traitement |
Tant que $n< 21$
Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1}{2}e-\dfrac{n+1}{2}u$
Affecter à $n$ la valeur $n + 2$ |
| Sortie |
Afficher $u$ |
Quel terme de la suite $(I_n)$ obtient-on en sortie de cet algorithme ?
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- Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, $I_n\geqslant0$.
- Montrer que la suite $(I_n)$ est décroissante.
- En déduire que la suite $(I_n)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
- Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise
en compte dans l'évaluation.
Déterminer la valeur de $\ell$.