Centres étrangers 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 2

1. 1. La fonction $G_1$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$, $G'(x)=\dfrac{1}{2}\times\left(x^2\right)'e^{x^2}=\dfrac{1}{2}\times2xe^{x^2}=xe^{x^2}=g(x)$.

      Donc la fonction $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$.

   
   
   2. $I_1=\displaystyle\int_{0}^{1}xe^{x^2}\;dx=\left[\dfrac{1}{2}e^{x^2}\right]_0^1=\dfrac{1}{2}e^1-\dfrac{1}{2}e^0=\dfrac{e-1}{2}$.

      $I_1=\dfrac{e-1}{2}$.

   
   
   3. Soit $n$ un entier naturel non nul. Pour tout réel $x$, $$h_{n+1}(x)G_1(x)=x^{n+1}\times\dfrac{1}{2}e^{x^2}=\dfrac{1}{2}x^{n+1}e^{x^2}.$$

      Par suite, pour tout réel $x$,

      $$\left(h_{n+1}G_1\right)'(x)=\dfrac{1}{2}(n+1)x^ne^{x^2}+\dfrac{1}{2}x^{n+1}\times(2x)e^{x^2}=x^{n+2}e^{x^2}+\dfrac{n+1}{2}x^ne^{x^2}=g_{n+2}(x)+\dfrac{n+1}{2}g_n(x).$$
   
   
   4. Intégrons l'égalité précédente. Par linéarité de l'intégrale, on obtient \begin{align*} I_{n+2}+\dfrac{n+1}{2}I_n&=\displaystyle\int_{0}^{1}x^{n+2}e^{x^2}\;dx+\dfrac{n+1}{2}\displaystyle\int_{0}^{1}x^ne^{x^2}\;dx=\displaystyle\int_{0}^{1}\left(x^{n+2}e^{x^2}+\dfrac{n+1}{2}x^ne^{x^2}\right)dx\\ &=\displaystyle\int_{0}^{1}\left(h_{n+1}G_1\right)'(x)\;dx=\left[h_{n+1}(x)G_1(x)\right]_0^1=\left[x^{n+1}\times\dfrac{1}{2}e^{x^2}\right]_0^1\\ &=1^{n+1}\times\dfrac{1}{2}e^1\\ &=\dfrac{1}{2}e. \end{align*}

      On a montré que

      pour tout entier naturel non nul, $I_{n+2}=\dfrac{1}{2}e-\dfrac{n+1}{2}I_n$.

   
   
   5. $I_3=I_{1+2}=\dfrac{e}{2}-\dfrac{1+1}{2}I_1=\dfrac{e}{2}-I_1=\dfrac{e}{2}-\dfrac{e-1}{2}=\dfrac{1}{2}$ et $I_5=\dfrac{e}{2}-\dfrac{3+1}{2}I_3=\dfrac{e}{2}-2\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{e-2}{2}$.

      $I_3=\dfrac{1}{2}$ et $I_5=\dfrac{e-2}{2}$.



2. $n$ prend sucessivement les valeurs $1$, $3$, $5$, \ldots, $19$.
   
   • Quand $n=1$, $u=I_1$ puis, comme $1< 21$, $u=\dfrac{1}{2}e-\dfrac{1+1}{2}I_1=I_3$ puis $n=3$.
   
   
   • Puisque $n=3< 21$, $u=\dfrac{1}{2}e-\dfrac{3+1}{2}I_3=I_5$ puis $n=5$.
   
   $\vdots$
   • Puisque $n=17< 21$, $u=\dfrac{1}{2}e-\dfrac{17+1}{2}I_{17}=I_{19}$ puis $n=19$.
   
   
   • Puisque $n=19< 21$, $u=\dfrac{1}{2}e-\dfrac{19+1}{2}I_{19}=I_{21}$ puis $n=21$ et l'algorithme s'arrête.

   Finalement,

   en sortie, on obtient $I_{21}$.



3. 1. Soit $n$ un entier naturel non nul. Pour tout réel $x$ de $[0,1]$, $x^ne^{x^2}\geqslant0$. Par positivité de l'intégrale, on en déduit que $\dint{0}{1}x^ne^{x^2}\;dx\geqslant0$. On a montré que

      Pour tout entier naturel non nul $n$, $I_n\geqslant0$.

   
   
   2. Soit $n$ un entier naturel non nul. \begin{align*} I_n-I_{n+1}&=\dint{0}{1}x^ne^{x^2}\;dx-\dint{0}{1}x^{n+1}e^{x^2}\;dx=\dint{0}{1}\left(x^ne^{x^2}-x^{n+1}e^{x^2}\right)dx\;(\text{par linéarité de l'intégrale})\\ &=\dint{0}{1}x^n(1-x)e^{x^2}\;dx. \end{align*}

      Or, pour tout réel $x$ de $[0,1]$, $x^n(1-x)e^{x^2}\;dx\geqslant0$ et donc $\dint{0}{1}x^n(1-x)e^{x^2}\;dx\geqslant0$ par positivité de l'intégrale ou encore $I_n-I_{n+1}\geqslant0$.

      On a montré que pour tout entier naturel non nul $n$ $I_n-I_{n+1}\geqslant0$ ou encore pour tout entier naturel non nul $n$ $I_{n+1}\leqslant I_n$ et donc

      la suite $(I_n)$ est décroissante.

   
   
   3. La suite $(I_n)$ est décroissante et minorée par $0$. On en déduit que la suite $(I_n)$ est convergente vers un réel $\ell$ positif ou nul.


4. Supposons $\ell>0$. D'après la question 1)c), pour tout entier naturel supérieur ou égal à $3$, $I_n=\dfrac{e}{2}-\dfrac{n-1}{2}I_{n-2}$. Puisque $\dlim{n}{+\infty}I_{n-2}=\ell>0$, on en déduit que $\dlim{n}{+\infty}\dfrac{n-1}{2}I_{n-2}=+\infty$ puis que $$\dlim{n}{+\infty}I_n=\dlim{n}{+\infty}\dfrac{e}{2}-\dfrac{n-1}{2}I_{n-2}=-\infty.$$

   Ceci est une contradiction et donc $\ell=0$.

   $\dlim{n}{+\infty}I_n=0$.