Centres étrangers 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 3 (6 points) (commun à tous les candidats)

On considère l'équation $(E)$ d'inconnue $x$ réelle : $e^x = 3(x^2 + x^3)$.

Partie A : Conjecture graphique

Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3 (x^2 + x^3)$ telles que les affiche une calculatrice dans un même repère orthogonal.

image/svg+xml123456 − 1 − 2 − 3 − 4 − 5 − 6 − 7 − 1 − 2 − 3 − 4 − 5 − 6 12345

A l'aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l'équation $($E) et leur encadrement par deux entiers consécutifs.

Partie B : étude de la validité de la conjecture graphique

    1. Étudier selon les valeurs de $x$, le signe de $x^2 + x^3$.

    2. En déduire que l'équation $(E)$ n'a pas de solution sur l'intervalle $]-\infty; -1]$.

    3. Vérifier que $0$ n'est pas solution de $(E)$.

  2. On considère la fonction $h$, définie pour tout nombre réel de $] - 1 ; 0[\cup]0 ; +\infty[$ par :
    $h(x)=\ln3+\ln(x^2)+\ln(1+x)-x$.

    Montrer que, sur $] - 1 ; 0[\cup]0 ; +\infty[$, l'équation $(E)$ équivaut à $h(x) = 0$.


    1. Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à $] - 1 ; 0[\cup]0 ; +\infty[$, on a :
      $h'(x)=\dfrac{-x^2+2x+2}{x(x+1)}$.

    2. Déterminer les variations de la fonction $h$.

    3. Déterminer le nombre de solutions de l'équation $h(x) = 0$ et donner une valeur arrondie au centième de chaque solution.

    4. Conclure quant à la conjecture de la partie A.