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D'après la formule des probabilités totales,
\begin{align*}
p(B)&=p(A\cap B)+p\left(\overline{A}\cap B\right)=p(A)\times p_A(B)+p\left(\overline{A}\right)\times p_{\overline{A}}(B)=0,2\times0,68+(1-0,2)\times(1-0,4)\\
&=0,136+0,48=0,616.
\end{align*}
Ensuite,
$p_B(A)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}=\dfrac{p(A)\times p_A(B)}{p(B)}=\dfrac{0,2\times0,68}{0,616}=0,22\ldots$.
Donc l'affirmation 1 est fausse.
- A chaque tirage, la probabilité de tirer une boule rouge est $\dfrac{n}{n+3}$.
La probabilité $p_n$ d'obtenir deux boules rouges après deux tirages successifs avec remise est donc
$p_n=\left(\dfrac{n}{n+3}\right)\times\left(\dfrac{n}{n+3}\right)=\left(\dfrac{n}{n+3}\right)^2$.
Ensuite,
$$p_n=\dfrac{4}{9}\Leftrightarrow\left(\dfrac{n}{n+3}\right)^2=\dfrac{4}{9}\Leftrightarrow\dfrac{n}{n+3}=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow3n=2n+6\Leftrightarrow n=6.$$
Puisque $6$ est un entier naturel non nul, l'affirmation 2 est vraie.
- Soit $z\in\mbc$. Posons $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont deux réels.
$z^2-z\overline{z}-1=(x+iy)^2-(x+iy)(x-iy)-1=x^2+2ixy-y^2-x^2-y^2-1=-2y^2-1+2ixy$.
Si $z^2-z\overline{z}-1=0$, en particulier $-2y^2-1=\text{Re}(z^2-z\overline{z}-1)=0$. Mais l'équation $-2y^2-1=0$ n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$ car pour tout réel
$y$, on a $-2y^2-1< 0$. Par suite, l'équation $(E)$ n'a pas de solution dans $\mathbb{C}$ et l'affirmation 3 est fausse.
- Seul l'angle $\widehat{BAC}$ semble convenir :
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Les coordonnées respectives des points $A$, $B$ et $C$ sont $(-1,0)$, $(0,1)$ et $\left(\sqrt{3},1-\sqrt{3}\right)$.
Les coordonnées respectives des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont $(1,1)$ et $\left(\sqrt{3}+1,1-\sqrt{3}\right)$.
$$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=1\times\left(\sqrt{3}+1\right)+1\times\left(1-\sqrt{3}\right)=2.$$
D'autre part,
$$\left\|\overrightarrow{AB}\right\|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$$
et
$$\left\|\overrightarrow{AC}\right\|=\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2+\left(1-\sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{3+2\sqrt{3}+1+1-2\sqrt{3}+3}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.$$
Par suite,
$$\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left\|\overrightarrow{AB}\right\|\times\left\|\overrightarrow{AC}\right\|}=\dfrac{2}{\sqrt{2}\times2\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2},$$
ou encore $\widehat{BAC}=60^\circ$. L'affirmation 4 est vraie.