France métropolitaine 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 4

1. 1. Graphique.
   
   
   2. • $z_{A'}=\dfrac{1}{z_A+1}=\dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}+1}=\dfrac{1}{1/2}=2$.
      • $z_{B'}=\dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}+i+1}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}+i}=\dfrac{2}{1+2i}=\dfrac{2(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\dfrac{2-4i}{1^2+2^2}=\dfrac{2}{5}-\dfrac{4}{5}i$.
      • $z_{C'}=\dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i+1}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i}=\dfrac{2}{1-i}=\dfrac{2(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{2(1+i)}{1^2+1^2}=1+i$.
   
   
   3. Les points $A'$, $B'$ et $C'$ ont pour coordonnées respectives $(2,0)$, $\left(\dfrac{2}{5},-\dfrac{4}{5}\right)$ et $(1,1)$. Donc le vecteur $\overrightarrow{A'B'}$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{8}{5},-\dfrac{4}{5}\right)$ et le vecteur $\overrightarrow{A'C'}$ a pour coordonnées $\left(-1,1\right)$.

      S'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{A'C'}$, alors $-k=-\dfrac{8}{5}$ et aussi $k=-\dfrac{4}{5}$ ce qui est impossible. Donc les vecteurs $\overrightarrow{A'B'}$ et $\overrightarrow{A'C'}$ ne sont pas colinéaires ou encore

      les points $A'$, $B'$ et $C'$ ne sont pas alignés.



2. 1. Soit $M$ un point de $\mathscr{D}$. Les coordonnées de $M$ sont de la forme $\left(-\dfrac{1}{2},y\right)$ où $y$ est un réel.

      L'affixe du point $M$ est $z_M=-\dfrac{1}{2}+y$ puis l'affixe de $M_1$ est

      $$z_{M_1}=z_M+1=-\dfrac{1}{2}+iy+1=\dfrac{1}{2}+iy.$$

      $x_{M_1}=\dfrac{1}{2}$ et donc $M_1$ appartient à la droite d'équation $x=\dfrac{1}{2}$. Ainsi, l'image de chaque point de $\mathscr{D}$ est un point de la droite d'équation $x=\dfrac{1}{2}$.

      Réciproquement, soit $M_1$ un point de la droite d'équation $x=\dfrac{1}{2}$. Les coordonnées de $M_1$ sont de la forme $\left(\dfrac{1}{2},y\right)$ où $y$ est un réel.

      L'affixe du point $M_1$ est $z_{M_1}=\dfrac{1}{2}+y$. Soit $M$ le point d'affixe $z_M=-\dfrac{1}{2}+iy$. Puisque $x_M=-\dfrac{1}{2}$, le point $M$ appartient à la droite $\mathscr{D}$. D'autre part, l'affixe de $g(M)$ est

      $$z_M+1=-\dfrac{1}{2}+iy+1=\dfrac{1}{2}+iy=z_{M_1},$$

      et donc $g(M)=M_1$. Par suite, $M_1$ est l'image d'un point de $\mathscr{D}$ par $g$. Ainsi, tout point de la droite d'équation $x=\dfrac{1}{2}$ est l'image d'un point de $\mathscr{D}$ par $g$.

      Finalement, $\mathscr{D}_1$ est la droite d'équation $x=\dfrac{1}{2}$.

   
   
   2. Les points $A$ et $B$ sont deux points distincts de la droite $\mathscr{D}$ et donc $\mathscr{D}_1$ est la droite passant par $A_1=g(A)$ et $B_1=g(B)$ ou encore $\mathscr{D}_1=(A_1B_1)$.
   
   
   3. $\mathscr{D}_1$ est la droite d'équation $x=\dfrac{1}{2}$. D'autre part, l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ telle que $|z-1|=|z|$ est l'ensemble des points $M$ à égale distance des points $O$ et $\Omega$ de coordonnées respectives $O(0,0)$ et $\Omega(1,0)$. Cet ensemble est la médiatrice du segment $[O,\Omega]$ ou encore la droite d'équation $x=\dfrac{1}{2}$ ou enfin la droite $\mathscr{D}_1$.


3. 1. $A_1$, $B_1$ et $C_1$ sont distincts de $O$. Donc $h(A_1)$, $h(B_1)$ et $h(C_1)$ existent.

      $z_{h(A_1)}=\dfrac{1}{z_{A_1}}=\dfrac{1}{z_A+1}=z_A'$ et donc $h(A_1)=A'$. De même, $h(B_1)=B'$ et $h(C_1)=C'$.

   
   
   2. Soit $z$ un nombre complexe non nul. $\left|\dfrac{1}{z}-1\right|=1\Leftrightarrow\left|\dfrac{1-z}{z}\right|=1\Leftrightarrow\dfrac{|1-z|}{|z|}=1\Leftrightarrow|1-z|=|z|\Leftrightarrow|-(z-1)|=|z|\Leftrightarrow|z-1|=|z|$.
   
   
   3. Soit $M_1$ un point de $\mathscr{D}_1$ dont l'affixe est notée $z_1$. $M_1$ est distinct de $O$ et donc $h(M_1)$ existe.
      De plus, $|z_1-1|=|z_1|$ d'après la question 2)c) et donc $\left|\dfrac{1}{z_1}-1\right|=1$ d'après la question 3)b). $\dfrac{1}{z_1}$ est l'affixe de $h(M_1)$ et donc $\Omega h(M_1)=1$ (où $\Omega(1,0)$). Ainsi, le point $h(M_1)$ appartient au cercle $\mathscr{C}$ de centre $\Omega(1,0)$ et de rayon $1$.


4. Pour tout point $M$ de $\mathscr{D}$, $f(M)=h(g(M))$. L'image de $\mathscr{D}$ par $g$ est la droite $\mathscr{D}_1$ et l'image de la droite $\mathscr{D}_1$ par $h$ est le cercle $\mathscr{C}$ privé du point $O$. Donc

   l'image de $\mathscr{D}$ par $f$ est le cercle $\mathscr{C}$ privé du point $O$.