France métropolitaine 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 4 (5 points) (candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)$.

On appelle $f$ l'application qui à tout point $M$ d'affixe $z$ différente de $-1$, fait correspondre le point $M'$ d'affixe $\dfrac{1}{z+1}$.

Le but de l'exercice est de déterminer l'image par $f$ de la droite $\mathscr{D}$ d'équation $x=-\dfrac{1}{2}$.

1. Soient $A$, $B$ et $C$ les points d'affixes respectives $z_A=-\dfrac{1}{2}$, $z_B=-\dfrac{1}{2}+i$ et $z_C=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i$.
   
   
   1. Placer les trois points $A$, $B$ et $C$ sur une figure que l'on fera sur la copie en prenant $2$ cm pour unité graphique.
   
   
   2. Calculer les affixes des points $A'=f(A)$, $B'=f(B)$ et $C'=f(C)$ et placer les points $A'$, $B'$ et $C'$ sur la figure.
   
   
   3. Démontrer que les points $A'$, $B'$ et $C'$ ne sont pas alignés.


2. Soit $g$ la transformation du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, fait correspondre le point $M_1$ d'affixe $z+1$.
   
   
   1. Soit $\mathscr{D}_1$ l'ensemble des images des points de la droite $\mathscr{D}$ par $g$. Montrer que $\mathscr{D}_1$ est la droite d'équation $x=\dfrac{1}{2}$.
   
   
   2. Placer les points $A_1$, $B_1$ et $C_1$, images respectives par $g$ de $A$, $B$ et $C$ et tracer la droite $\mathscr{D}_1$.
   
   
   3. Démontrer que $\mathscr{D}_1$ est l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ telle que $|z-1|=|z|$.


3. Soit $h$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle, associe le point $M_2$ d'affixe $\dfrac{1}{z}$.
   
   
   1. Justifier que $h\left(A_1\right)=A'$, $h\left(B_1\right)=B'$ et $h\left(C_1\right)=C'$.
   
   
   2. Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul $z$, on a : $\left|\dfrac{1}{z}-1\right|=1\Longleftrightarrow|z-1|=|z|$.
   
   
   3. En déduire que l'image par $h$ le la droite $\mathscr{D}_1$ est incluse dans un cercle $\mathscr{C}$ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure.
      On admet que l'image par $h$ de la droite $\mathscr{D}_1$ est le cercle $\mathscr{C}$ privé de $O$.


4. Déterminer l'image par l'application $f$ de la droite $\mathscr{D}$.