France métropolitaine 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 1

1. La courbe représentative de la fonction $f'$ est au-dessous de l'axe des abscisses sur l'intervalle $[-3,-1]$ ou encore, pour tout réel $x$ de $[-3,-1]$, on a $f'(x)\leqslant0$. L'affirmation de cette question 1) est donc vraie.


2. D'après le graphique fourni dans l'énoncé, la fonction $f'$ est positive sur l'intervalle $[-1,2]$. Donc la fonction $f$ est croissante sur $[-1,2]$. L'affirmation de cette question 2) est vraie.


3. La dérivée $f'$ de $f$ est strictement positive sur $\left[-\dfrac{1}{2},0\right]$. Donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[-\dfrac{1}{2},0\right]$. En particulier, $f\left(-\dfrac{1}{2}\right)< f(0)$ ou encore $f\left(-\dfrac{1}{2}\right)< -1$. Ainsi, il existe un réel $x_0$ de $[-2,3]$ tel que $f(x_0)< -1$ et donc l'affirmation de cette question 3) est fausse.


4. Une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $\mathscr{C}$ en son point d'abscisse $0$ est $y=f'(0)(x-0)+f(0)$.

   L'énoncé fournit $f(0)=-1$ et sur le graphique, on lit que $f'(0)=1$. Une équation de $(T)$ est donc

   $y=x-1$.

   Soit $A$ le point de coordonnées $(1,0)$. $x_A-1=1-1=0=y_A$ et donc le point $A$ appartient à $(T)$. L'affirmation de cette question 4) est donc vraie.