EXERCICE 2 (5 points) (commun à tous les candidats)
Pour embaucher ses cadres, une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue est la suivante.
Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier. $40\%$ des dossiers reçus sont validés et transmis
à l'entreprise. Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l'issue duquel $70\%$ d'entre eux sont
retenus. Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera
$25\%$ des candidats rencontrés.
- On choisit au hasard le dossier d'un candidat.
On considère les événements suivants :
$D$ : \og Le candidat est retenu sur dossier \fg,
$E_1$ : \og Le candidat est retenu à l'issue du premier entretien \fg,
$E_2$ : \og Le candidat est recruté \fg.
- Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.
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- Calculer la probabilité de l'événement $E_1$.
- On note $F$ l'événement \og Le candidat n'est pas recruté \fg.
Démontrer que la probabilité de l'événement $F$ est égale à $0,93$.
- Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites
indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d'eux soit recruté est égale à $0,07$.
On désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats.
- Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
- Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à $10^{-3}$.
- Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d'embaucher au moins un candidat soit supérieure à $0,999$ ?