France métropolitaine 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 2

1. 1. Représentons la situation par un arbre. ***************************************
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   2. $p(E_1)=p\left(D\cap E_1\right)=p(D)\times p_D(E_1)=0,4\times0,7=0,28$.

      $p(E_1)=0,28$.

   
   
   3. 1ère solution. L'événement $F$ est la réunion des trois événements $\overline{D}$, $\overline{E_1}$ et $\overline{E_2}$. De plus, ces événements sont deux à deux incompatibles. Donc, $p(F)=p\left(\overline{D}\right)+p\left(\overline{E_1}\right)+p\left(\overline{E_2}\right)$.
      • $p\left(\overline{D}\right)=1-p(D)=1-0,4=0,6$.
      • $p\left(\overline{E_1}\right)=p(D)\times p_D\left(\overline{E_1}\right)=0,4\times(1-0,7)=0,12$.
      • $p\left(\overline{E_2}\right)=p(E_1)\times p_{E_1}\left(\overline{E_2}\right)=0,28\times(1-0,25)=0,21$.
      $p(F)=p\left(\overline{D}\right)+p\left(\overline{E_1}\right)+p\left(\overline{E_2}\right)=0,6+0,12+0,21=0,93$.

      2ème solution. L'événement $\overline{F}$ c'est-à-dire l'événement \og le candidat est recruté \fg~est encore l'événement $E_2$. Donc,

      $p\left(\overline{F}\right)=p(E_2)=p(E_1)\times p_{E_1}(E_2)=0,28\times0,25=0,07$

      puis $p(F)=1-p\left(\overline{F}\right)=1-0,07=0,93$.

      $p(F)=0,93$.



2. 1. La variable aléatoire $X$ est régie par un schéma de \textsc{Bernoulli}. En effet,
      
      
      • $5$ expériences identiques et indépendantes sont effectuées ;
      • chaque expérience a deux issues~:~\og le candidat est recruté \fg~avec une probabilité $p=0,07$ ou \og le candidat n'est pas recruté \fg~avec une probabilité $1-p=0,93$.

      La variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,07$.

   
   
   2. On sait alors que pour tout entier $k$ tel que $0\leqslant k\leqslant5$, $p(X=k)=\dbinom{5}{k}\left(0,07\right)^k\left(0,93\right)^{5-k}$.

      La probabilité demandée est $p(X=2)$. La calculatrice fournit

      $p(X=2)=\dbinom{5}{2}\left(0,07\right)^2\left(0,93\right)^{3}=0,0394\ldots$,

      et donc

      la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés est $0,039$ arrondie à $10^{-3}$.



3. Soit $n$ le nombre de dossiers examinés par le cabinet de recrutement. On note toujours $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi les $n$ candidats. La probabilité d'embaucher au moins un candidat est $p\left(X\geqslant1\right)$. $p\left(X\geqslant1\right)=1-p(X=0)=1-\dbinom{n}{0}(0,07)^0(0,93)^n=1-(0,93)^n$.

   Par suite,

   \begin{align*} p\left(X\geqslant1\right)\geqslant0,999&\lra1-(0,93)^n\geqslant0,999\lra(0,93)^n\leqslant0,001\\ &\lra \ln\left((0,93)^n\right)\leqslant\ln(0,001)\;(\text{par stricte croissance de la fonction}\;\ln\;\text{sur}\;]0,+\infty[)\\ &\lra n\ln(0,93)\leqslant\ln(0,001)\lra n\geqslant\dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,93)}\;(\text{car}\;\ln(0,93)< 0)\\ &\lra n\geqslant95,1\ldots\\ &\lra n\geqslant96\;(\text{car}\;n\;\text{est un entier}). \end{align*}

   Le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d'embaucher au moins un candidat soit supérieure à $0,999$ est $96$.