France métropolitaine 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 3 (6 points) (commun à tous les candidats)

Il est possible de traiter la partie C sans avoir traité la partie B.

Partie A

On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[1,+\infty[$ par

$f(x)=\dfrac{1}{x+1}+\ln\left(\dfrac{x}{x+1}\right)$.
  1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

  2. Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1,+\infty[$, $f'(x)=\dfrac{1}{x(x+1)^2}$.

  3. En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1,+\infty[$.

Partie B

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier strictement positif par $u_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\ldots+\dfrac{1}{n}-\ln n$.

  1. On considère l'algorithme suivant :
    image/svg+xml

    Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l'utilisateur entre la valeur $n=3$.


  2. Recopier et compléter l'algorithme précédent afin qu'il affiche la valeur de $u_n$ lorsque l'utilisateur entre la valeur de $n$.

  3. Voici les résultats fournis par l'algorithme modifié, arrondis à $10^{-3}$.
    $n$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$ $100$ $1000$ $1500$ $2000$
    $u_n$ $0,697$ $0,674$ $0,658$ $0,647$ $0,638$ $0,632$ $0,626$ $0,582$ $0,578$ $0,578$ $0,577$

    A l'aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite $(u_n)$ et son éventuelle convergence.


Partie C

Cette partie peut être traitée indépendamment de la partie B.

Elle permet de démontrer les conjectures formulées à propos de la suite $(u_n)$ telle que pour tout entier strictement positif $n$,

$u_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\ldots+\dfrac{1}{n}-\ln n$.
  1. Démontrer que pour tout entier strictement positif $n$,
    $u_{n+1}-u_n=f(n)$.

    où $f$ est la fonction définie dans la partie \textbf{A}.

    En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.


    1. Soit $k$ un entier strictement positif.

      Justifier l'inégalité $\displaystyle\int_{k}^{k+1}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{x}\right)dx\geqslant0$.

      En déduire que $\displaystyle\int_{k}^{k+1}\dfrac{1}{x}\;dx\leqslant\dfrac{1}{k}$.

      Démontrer l'inégalité $\ln(k+1)-\ln k\leqslant\dfrac{1}{k}$\quad$(1)$.


    2. Ecrire l'inégalité $(1)$ en remplaçant successivement $k$ par $1$, $2$, \ldots, $n$ et démontrer que pour tout entier strictement positif $n$,
      $\ln(n+1)\leqslant1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\ldots+\ldots+\dfrac{1}{n}$.

    3. En déduire que pour tout entier strictement positif $n$,\quad$u_n\geqslant0$.

  3. Prouver que la suite $(u_n)$ est convergente. On ne demande pas de calculer sa limite.