Liban 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 4

1. Un triangle.
   
   
   1. Les points $A$, $B$ et $C$ ont pour coordonnées respectives $(2,0)$, $\left(3,\sqrt{3}\right)$ et $\left(0,2\sqrt{3}\right)$.

      Les vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$ ont pour coordonnées respectives $\left(-1,-\sqrt{3}\right)$ et $\left(-3,\sqrt{3}\right)$.

      $$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=(-1)\times(-3)+\left(-\sqrt{3}\right)\times\sqrt{3}=3-3=0.$$

      Donc, les vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont orthogonaux et on en déduit que

      $\widehat{ABC}=\dfrac{\pi}{2}$.

   
   
   2. Ainsi, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. On en déduit que $[AC]$ est un diamètre du cercle circonscrit au triangle $ABC$ ou encore le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$ est le milieu du segment $[AC]$. Donc, $\omega=\dfrac{z_A+z_C}{2}=\dfrac{2+2i\sqrt{3}}{2}=1+i\sqrt{3}$.

      Le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$ est le point $\Omega$ d'affixe $\omega=1+i\sqrt{3}$.



2. Une suite de nombres complexes.
   
   
   1. • $z_1=0+2=2=a$.
      • $z_2=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}\times2+2=1+i\sqrt{3}+2=3+i\sqrt{3}=b$.
      • $z_3=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}(3+i\sqrt{3})+2=\dfrac{3+i\sqrt{3}+3i\sqrt{3}-3}{2}+2=2+\dfrac{4i\sqrt{3}}{2}=2+2i\sqrt{3}$.
      • $z_4=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}(2+2i\sqrt{3})+2=\left(1+i\sqrt{3}\right)^2+2=1+2i\sqrt{3}-3+2=2i\sqrt{3}$.
   
   
   2. • $A_1A_2=\left|z_2-z_1\right|=\left|3+i\sqrt{3}-2\right|=\left|1+i\sqrt{3}\right|=\sqrt{1^2+\left(\sqrt{3}\right)^2}=2$.
      • $A_2A_3=\left|z_3-z_2\right|=\left|2+2i\sqrt{3}-3-i\sqrt{3}\right|=\left|-1+i\sqrt{3}\right|=\sqrt{(-1)^2+\left(\sqrt{3}\right)^2}=2$.
      • $A_3A_4=\left|z_4-z_3\right|=\left|2i\sqrt{3}-2-2i\sqrt{3}\right|=\left|-2\right|=2$.

      $A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=2$.

   
   
   3. Soit $z$ un nombre complexe. \begin{align*} z=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}z+2&\Leftrightarrow z\left(1-\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}\right)=2\Leftrightarrow \dfrac{2-1-i\sqrt{3}}{2}z=2\Leftrightarrow \dfrac{1-i\sqrt{3}}{2}z=2\\ &\Leftrightarrow z=\dfrac{4}{1-i\sqrt{3}}\Leftrightarrow z=\dfrac{4\left(1+i\sqrt{3}\right)}{\left(1-i\sqrt{3}\right)\left(1+i\sqrt{3}\right)}\Leftrightarrow z=\dfrac{4\left(1+i\sqrt{3}\right)}{1^2+\left(-\sqrt{3}\right)^2}\\ &\Leftrightarrow z=1+i\sqrt{3}\Leftrightarrow z=\omega. \end{align*}

      L'ensemble des solutions de l'équation proposée est $\{\omega\}$.

   
   
   4. Puisque $\omega$ est solution de l'équation $z=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}z+2$, on a $\omega=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}\omega+2$.

      Soit $n\in\mathbb{N}$.

      \begin{align*} z_{n+1}-\omega&=\left(\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}z_n+2\right)-\left(\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}\omega+2\right)=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}z_n+2-\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}\omega-2\\ &=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}(z_n-\omega). \end{align*}

      Pour tout entier naturel $n$, $z_{n+1}-\omega=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}(z_n-\omega)$.

   
   
   5. 
      $\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=e^{i\pi/3}$.

      $\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}=e^{i\pi/3}$.

   
   
   6. D'après les deux questions précédentes, pour tout entier naturel $n$, $z_{n+1}-\omega=e^{i\frac{\pi}{3}}(z_n-\omega)$. Donc, la suite $(z_n-\omega)_{n\in\mathbb{N}}$ est géométrique de raison $e^{i\frac{\pi}{3}}$.

      On en déduit que pour tout entier naturel $n$,

      $$z_{n+6}-\omega=\left(e^{i\frac{\pi}{3}}\right)^6(z_n-\omega)=e^{2i\pi}(z_n-\omega)=z_n-\omega$$

      et donc que $z_{n+6}=z_n$. Mais alors

      pour tout entier naturel $n$, $A_{n+6}=A_n$.

      On note que $2012=6\times335+2$. D'après ce qui précède, $A_2=A_{2+6}=A_{2+2\times 6}=A_{2+3\times 6}=\ldots$ et plus généralement, pour tout entier naturel $n$, $A_{6n+2}=A_2$. Donc, $A_{2012}=A_2$ ou encore

      $z_{2012}=z_2=3+i\sqrt{3}$.