Liban 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 4 (5 points) (candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)

On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct $\left(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)$.

1. Un triangle
   
   
   1. On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a=2$, $b=3+i\sqrt{3}$ et $c=2i\sqrt{3}$.
      Déterminer une mesure de l'angle $\widehat{ABC}$.
   
   
   2. En déduire que l'affixe $\omega$ du centre $\Omega$ du cercle circonscrit au triangle $ABC$ est $1+i\sqrt{3}$.


2. Une suite de nombres complexes

   On note $(z_n)$ la suite de nombres complexes, de terme initial $z_{0}=0$, et telle que :

   $z_{n+1}=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}z_n+2$, pour tout entier naturel $n$.

   Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ le point d'affixe $z_n$.



1. Montrer que les points $A_2$, $A_3$ et $A_4$ ont pour affixes respectives : $$3+i\sqrt{3},\quad2+2i\sqrt{3}\quad\text{et}\quad2i\sqrt{3}.$$

   On remarquera que : $A_1=A$, $A_2=B$ et $A_4=C$.



2. Comparer les longueurs des segments $[A_1A_2]$, $[A_2A_3]$ et $[A_3A_4]$.


3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}z+2$.


4. Etablir que pour tout entier naturel $n$, on a : $z_{n+1}-\omega=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}(z_n-\omega)$.

   où $\omega$ désigne le nombre complexe défini à la question 1)b) (on utilisera le fait que $\omega=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}\omega+2$).



5. Déterminer la forme exponentielle de $\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}$.


6. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $A_{n+6}=A_n$. Déterminer l'affixe du point $A_{2012}$.