EXERCICE 1 (6 points) (commun à tous les candidats)
Partie A
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0,+\infty[$ par :
$g(x)=2x^3-1+2\ln x$.
- Etudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0,+\infty[$.
- Justifier qu'il existe un unique réel $\alpha$ tel que $g(\alpha)=0$. Donner une valeur approchée de $\alpha$, arrondie au centième.
- En déduire le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0,+\infty[$.
Partie B
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0,+\infty[$ par :
$f(x)=2x-\dfrac{\ln x}{x^2}$.
On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan, muni d'un repère orthogonal $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.
- Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$.
- Etudier la position relative de la courbe $\mathscr{C}$ et de la droite $\Delta$ d'équation $y=2x$.
- Justifier que $f'(x)$ a même signe que $g(x)$.
- En déduire le tableau de variation de la fonction $f$.
- Tracer la courbe $\mathscr{C}$ dans le repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$. On prendra comme unités : 2 cm sur l'axe des abscisses, 1cm sur l'axe des ordonnées.
Partie C
Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère le domaine $\mathscr{D}$ du plan compris entre la courbe $\mathscr{C}$, la droite $\Delta$ et les droites d'équations respectives $x=1$ et $x=n$.
- Justifier que cette aire, exprimée en cm$^2$, est donnée par :
$I_n=2\displaystyle\int_{1}^{n}\dfrac{\ln x}{x^2}\;dx$.
-
- Vérifier que la fonction $F~:~x\mapsto-\dfrac{\ln(x)}{x}-\dfrac{1}{x}$ est une primitive de la fonction $x\mapsto\dfrac{\ln(x)}{x^2}$ sur $[1,+\infty[$.
- En déduire l'expression de $I_n$ en fonction de $n$.
- Calculer la limite de l'aire $I_n$ du domaine $\mathscr{D}$ quand $n$ tend vers $+\infty$.