Liban 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 1

Partie A

1. La fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0,+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $]0,+\infty[$. De plus, pour tout réel $x>0$, $g'(x)=6x^2+\dfrac{2}{x}$.

   Pour tout réel $x>0$, $g'(x)$ est strictement positif. Par suite,

   la fonction $g$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$.



2. • $\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}(2x^3-1)=-1$ et on sait d'autre part que $\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}\ln x=-\infty$ et donc que $\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}2\ln x=-\infty$. En additionnant, on obtient $\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}g(x)=-\infty$.
   
   
   • $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}2x^3-1=+\infty$ et on sait d'autre part que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\ln x=+\infty$ et donc que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}2\ln x=+\infty$. En additionnant, on obtient $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=+\infty$.
   
   
   • La fonction $g$ est continue et strictement croissante sur $]0,+\infty[$. On sait alors que pour tout réel $k$ de l'intervalle $\left]\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}g(x),\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)\right[=]-\infty,+\infty[$, l'équation $g(x)=k$ admet une solution et une seule dans $]0,+\infty[$. En particulier, l'équation $g(x)=0$ admet une solution et une seule, notée $\alpha$, dans $]0,+\infty[$.

   La calculatrice fournit $g(0,864)=-0,002\ldots< 0$ et $g(0,865)=0,004\ldots>0$. Ainsi, $g(0,864)< g(\alpha)< g(0,865)$. Puisque la fonction $g$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$, on en déduit que $0,864< \alpha<0,865$ puis que

   $\alpha=0,86$ arrondi au centième.



3. Soit $x\in]0,+\infty[$. Si $x< \alpha$, alors $g(x)< g(\alpha)$ puisque la fonction $g$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$ ou encore $g(x)< 0$ et si $x>\alpha$, alors $g(x)>g(\alpha)$ ou encore $g(x)>0$. On a ainsi montré que

   la fonction $g$ est strictement négative sur $]0,\alpha[$, strictement positive sur $]\alpha,+\infty[$ et s'annule en $\alpha$.

Partie B

1. • Limite en $0$. On sait que $\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}\ln x=-\infty$ et que $\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}\dfrac{1}{x^2}=+\infty$. En multipliant, on obtient $\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}\dfrac{\ln x}{x^2}=-\infty$ puis $\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}-\dfrac{\ln x}{x^2}=+\infty$. Comme d'autre part, $\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}2x=0$, en additionnant on obtient

   $\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}f(x)=+\infty$.}

   
   
   • Limite en $+\infty$. D'après un théorème de croissances comparées, on sait que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$.

     D'autre part, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{x}=0$. En multipliant, on obtient $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln x}{x^2}=0$.
     On a aussi $\dlim{x}{+\infty}2x=+\infty$. En retranchant, on obtient

     $\dlim{x}{+\infty}f(x)=+\infty$.



2. Soit $x>0$. Soient $M$ le point de $\mathscr{C}$ d'abscisse $x$ et $N$ le point de $\Delta$ de même abscisse $x$. $y_M-y_N=f(x)-2x=-\dfrac{\ln x}{x^2}$.
   • Si $x>1$, $\ln x>0$ et donc $y_M-y_N< 0$. On en déduit que la courbe $\mathscr{C}$ est strictement au-dessous de la droite $\Delta$ sur $]1,+\infty[$.
   
   
   • Si $x< 1$, $\ln x< 0$ et donc $y_M-y_N>0$. On en déduit que la courbe $\mathscr{C}$ est strictement au-dessus de la droite $\Delta$ sur $]0,1[$.
   
   
   • Enfin, si $x=1$, $y_M=y_N=2$. La courbe $\mathscr{C}$ et la droite $\Delta$ se coupent au point de coordonnées $(1,2)$.


3. La fonction $x\mapsto\dfrac{\ln x}{x^2}$\rule[-0.3cm]{0mm}{0mm} est dérivable sur $]0,+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $]0,+\infty[$ dont le dénominateur ne s'annule pas sur $]0,+\infty[$. Mais alors la fonction $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ en tant que différence de deux fonctions dérivables sur $]0,+\infty[$ et pour tout réel $x>0$, \begin{align*} f'(x)&=2-\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x^2-\ln x\times2x}{x^4}=2-\dfrac{x-2x\ln x}{x^4}=2-\dfrac{x(1-2\ln x)}{x^4}=2-\dfrac{1-2\ln x}{x^3}=\dfrac{2x^3-1+2\ln x}{x^3}\\ &=\dfrac{g(x)}{x^3}. \end{align*}

   Comme pour tout réel $x>0$, on a $x^3>0$, le signe de $f'(x)$ est le signe de $g(x)$ pour tout réel $x>0$.



4. Le signe de la fonction $g$ a été étudié à la question 3) de la partie A. On en déduit le tableau de variation de la fonction $f$ :


5. Représentation graphique.

Partie C

1. Soit $n\in\mbn^*$. D'après la question 2) de la partie B, la courbe $\mathscr{C}$ est au-dessous de la droite $\Delta$ sur $[1,+\infty[$ et en particulier sur $[1,n]$. Puisque la fonction $f$ et la fonction $x\mapsto2x$ sont continues sur $[1,n]$, on sait que l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine considéré est $\dint{1}{n}(2x-f(x))\;dx$ ou encore $\dint{1}{n}\dfrac{\ln x}{x^2}\;dx$.

   Maintenant, une unité d'aire mesure $2\times1=2$ cm$^2$ et donc l'aire, exprimée en cm$^2$, du domaine considéré est

   $I_n=2\displaystyle\int_{1}^{n}\dfrac{\ln x}{x^2}\;dx$.


2. 1. La fonction $F$ est dérivable sur $[1,+\infty[$ et pour tout réel $x\geqslant1$, $$F'(x)=-\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\ln(x)\times1}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}=-\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{-1+\ln(x)+1}{x^2}=\dfrac{\ln(x)}{x^2}.$$

      Donc, la fonction $F~:~x\mapsto-\dfrac{\ln(x)}{x}-\dfrac{1}{x}$ est une primitive de la fonction $x\mapsto\dfrac{\ln(x)}{x^2}$ sur $[1,+\infty[$.

   
   
   2. Soit $n\in\mathbb{N}^*$. $$I_n=2\displaystyle\int_{1}^{n}\dfrac{\ln x}{x^2}\;dx=2\left[-\dfrac{\ln(x)}{x}-\dfrac{1}{x}\right]_{1}^{n}=2\left(-\dfrac{\ln(n)}{n}-\dfrac{1}{n}+\dfrac{\ln(1)}{1}+\dfrac{1}{1}\right)=2\left(1-\dfrac{\ln n}{n}-\dfrac{1}{n}\right)$$

      Pour tout entier naturel non nul $n$, $I_n=2\left(1-\dfrac{\ln n}{n}-\dfrac{1}{n}\right)$.



3. On sait que $\dlim{n}{+\infty}\dfrac{1}{n}=0$ et d'autre part, d'après un théorème de croissances comparées, $\dlim{n}{+\infty}\dfrac{\ln n}{n}=0$. Par suite,

   $\dlim{n}{+\infty}I_n=2$.