EXERCICE 2 (4 points) (commun à tous les candidats)
Les quatre questions sont indépendantes.
Dans cet exercice, pour chaque question, une affirmation est proposée. On demande d'indiquer sur la copie si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne
sera pas prise en compte, mais toute trace de recherche sera valorisée.
- Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$, on considère les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$
de représentations paramétriques respectives :
$\left\{
\begin{array}{l}
x=4+t\\
y=6+2t\\
z=4-t
\end{array}
\right.$,\quad$t\in\mathbb{R}$,\quad et\quad$\left\{
\begin{array}{l}
x=8+5t'\\
y=2-2t'\\
z=6+t'
\end{array}
\right.$,\quad$t'\in\mathbb{R}$.
Affirmation : les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ sont coplanaires.
- Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$, on considère les points $A(12;7;-13)$ et $B(3;1;2)$
ainsi que le plan $\mathscr{P}$ d'équation $3x+2y-5z=1$.
Affirmation : le point $B$ est le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $\mathscr{P}$.
- On considère les suites $u$ et $v$ définies, pour tout entier naturel $n$, par :
$u_n=\dfrac{n+1}{n+2}$\quad et\quad$v_n=2+\dfrac{1}{n+2}$.
Affirmation : l'une des deux suites est croissante, l'autre est décroissante et la différence $u_n-v_n$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
- On considère la suite $u$ définie par son premier terme $u_0=1$ et la relation de récurrence :
$u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+2$ pour tout entier naturel $n$.
Affirmation : cette suite est majorée par $3$.