Justification 1. Un vecteur directeur de la droite $\mathscr{D}_1$ est le vecteur $\overrightarrow{u}_1$ de coordonnées $(1,2,-1)$ et un vecteur directeur de la droite $\mathscr{D}_2$ est le vecteur $\overrightarrow{u}_2$ de coordonnées $(5,-2,1)$.
Les vecteurs $\overrightarrow{u}_1$ et $\overrightarrow{u}_2$ ne sont pas colinéaires car s'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{u}_2=k\overrightarrow{u}_1$ alors $k=5$ et aussi $2k=-2$ ou encore $k=-1$ ce qui est impossible.
Donc les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ ne sont pas parallèles ou encore les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ sont sécantes (et dans ce cas coplanaires) ou non coplanaires (et dans ce cas n'ont aucun point commun).
Soient $M_1(4+t,6+2t,4-t)$, $t\in\mathbb{R}$, un point de $\mathscr{D}_1$ et $M_2(8+5t',2-2t',6+t')$, $t'\in\mathbb{R}$, un point de $\mathscr{D}_2$.
\begin{align*} M_1=M_2&\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} 4+t=8+5t'\\ 6+2t=2-2t'\\ 4-t=6+t' \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} t=4+5t'\\ 6+2(4+5t')=2-2t'\\ 4-(4+5t')=6+t' \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} t=4+5t'\\ 12t'=-12\\ -6t'=6 \end{array} \right.\\ &\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} t=4+5t'\\ t'=-1 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} t'=-1\\ t=-1 \end{array} \right. \end{align*}Pour $t=-1$ (ou $t'=-1$), on obtient le point de coordonnées $(3,4,5)$. Ainsi, le point de coordonnées $(3,4,5)$ appartient à la droite $\mathscr{D}_1$ et à la droite $\mathscr{D}_2$. On en déduit que les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ sont sécantes et en particulier ces droites sont coplanaires.
L'affirmation 1 est vraie.
Justification 2. $3x_B+2y_B-5z_B=3\times3+2\times1-5\times2=1$. Donc le point $B$ appartient au plan $\mathscr{P}$.
Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ est le vecteur $\overrightarrow{n}(3,2,-5)$ et le vecteur $\overrightarrow{BA}$ a pour coordonnées $(9,6,-15)$. On remarque alors que $\overrightarrow{BA}=3\overrightarrow{n}$. Par suite, le vecteur $\overrightarrow{BA}$ est colinéaire au vecteur $\overrightarrow{n}$ ou encore la droite $(AB)$ est perpendiculaire au plan $\mathscr{P}$.
En résumé, la droite $(AB)$ est perpendiculaire au plan $\mathscr{P}$ et le point $B$ appartient au plan $\mathscr{P}$. Par suite, le point $B$ est le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $\mathscr{P}$.
L'affirmation 2 est vraie.
Justification 3. Pour tout entier naturel non nul $n$, $u_n=\dfrac{n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}{n\left(1+\dfrac{2}{n}\right)}=\dfrac{1+\dfrac{1}{n}}{1+\dfrac{2}{n}}$.
Comme $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{2}{n}=0$, on a $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=1$.
D'autre part, $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n+2}=0$ et donc $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=2$. Finalement, $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}(u_n-v_n)=1-2=-1$.
L'affirmation 3 est fausse.
Justification 4 Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant3$.
Le résultat est démontré par récurrence. La suite $(u_n)$ est donc majorée par $3$ et l'affirmation 4 est vraie.