Liban 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 3 (5 points)} \textbf{(commun à tous les candidats)

On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$.
L'urne $U_1$ contient $4$ jetons numérotés de $1$ à $4$.
L'urne $U_2$ contient $4$ boules blanches et $6$ boules noires.
Un jeu consiste à tirer un jeton de l'urne $U_1$, à noter son numéro, puis à tirer successivement avec remise de l'urne $U_2$ le nombre de boules indiqué par le jeton.

On considère les événements suivants :

$J_1$\quad\og le jeton tiré de l'urne $U_1$ porte le numéro $1$ \fg
$J_2$\quad\og le jeton tiré de l'urne $U_1$ porte le numéro $2$ \fg
$J_3$\quad\og le jeton tiré de l'urne $U_1$ porte le numéro $3$ \fg
$J_4$\quad\og le jeton tiré de l'urne $U_1$ porte le numéro $4$ \fg
$B$\quad\og toutes les boules tirées de l'urne $U_2$ sont blanches \fg

On donnera tous les résultats sous la forme d'une fraction irréductible sauf dans la question} \textbf{4.b)} \textit{où une valeur arrondie à $10^{-2}$ suffit.

1. Calculer $p_{J_1}(B)$, probabilité de l'événement $B$ sachant que l'événement $J_1$ est réalisé.
   Calculer de même les probabilités $p_{J_2}(B)$, $p_{J_3}(B)$ et $p_{J_4}(B)$.


2. Montrer que $p(B)$, probabilité de l'événement $B$, vaut $\dfrac{203}{1250}$. On pourra s'aider d'un arbre de probabilités.


3. On dit à un joueur que toutes les boules qu'il a tirées sont blanches. Quelle est la probabilité que le jeton tiré porte le numéro $3$ ?


4. On joue $10$ fois de suite à ce jeu. Chacune des parties est indépendante des précédentes. On note $N$ la variable aléatoire prenant comme valeur le nombre de parties où toutes les boules tirées sont blanches.
   
   
   1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $N$ ?
   
   
   2. Calculer la probabilité de l'événement $(N=3$).