Liban 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 3

1. Quand l'événement $J_1$ est réalisé, on doit tirer une boule de l'urne $U_2$. Puisque l'urne $U_2$ contient $10$ boules dont $4$, sont blanches, $p_{J_1}(B)=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}$.

   Quand l'événement $J_2$ est réalisé, on doit tirer successivement avec remise deux boules de l'urne $U_2$. A chaque tirage, la probabilité d'obtenir une boule blanche est $\dfrac{2}{5}$. Donc, $p_{J_2}(B)=\left(\dfrac{2}{5}\right)^2=\dfrac{4}{25}$.

   De même, $p_{J_3}(B)=\left(\dfrac{2}{5}\right)^3=\dfrac{8}{125}$ et $p_{J_4}(B)=\left(\dfrac{2}{5}\right)^4=\dfrac{16}{625}$.

   $p_{J_1}(B)=\dfrac{2}{5}$, $p_{J_2}(B)=\dfrac{4}{25}$, $p_{J_3}(B)=\dfrac{8}{125}$ et $p_{J_4}(B)=\dfrac{16}{625}$.



2. Représentons la situation par un arbre. *****************************************
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   D'après la formule des probabilités totales, on a

   $$\begin{align*} p(B)&=p(J_1)\times p_{J_1}(B)+p(J_2)\times p_{J_2}(B)+p(J_3)\times p_{J_3}(B)+p(J_4)\times p_{J_4}(B)\\ &=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{2}{5}+\dfrac{4}{25}+\dfrac{8}{125}+\dfrac{16}{625}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{25}+\dfrac{4}{125}+\dfrac{8}{625}\right)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{125+50+20+8}{625}\\ &=\dfrac{203}{1250}. \end{align*}$$

   $p(B)=\dfrac{203}{1250}$.



3. La probabilité demandée est $p_B(J_3)$. $p_B(J_3)=\dfrac{p(J_3\cap B)}{p(B)}=\dfrac{p(J_3)\times p_{J_3}(B)}{p(B)}=\dfrac{\dfrac{1}{4}\times\dfrac{8}{125}}{\dfrac{203}{1250}}=\dfrac{2}{125}\times\dfrac{1250}{203}=\dfrac{20}{203}$.

   $p_B(J_3)=\dfrac{20}{203}$.



4. 1. La variable aléatoire $N$ est régie par un schéma de \textsc{Bernoulli}. En effet,
      
      
      • $10$ expériences identiques et indépendantes sont effectuées ;
      • chaque expérience a deux issues~:~\og toutes les boules tirées sont blanches \fg~avec une probabilité $p=\dfrac{203}{1250}$ (d'après la question 2)) ou \og au moins une boule tirée n'est pas blanche \fg~avec une probabilité $1-p=\dfrac{1047}{1250}$.

      La variable aléatoire $N$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac{203}{1250}$.

      On sait alors que pour tout entier $k$ tel que $0\leqslant k\leqslant10$,

      $p(X=k)=\dbinom{10}{k}\left(\dfrac{203}{1250}\right)^k\left(\dfrac{1047}{1250}\right)^{10-k}$.
   
   
   2. La calculatrice fournit $p(N=3)=\dbinom{10}{3}\left(\dfrac{203}{1250}\right)^3\left(\dfrac{1047}{1250}\right)^{7}=0,148\ldots$,

      et donc

      $p(N=3)=0,15$ arrondi à $10^{-2}$.