Nouvelle Calédonie 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 1

Partie A

1. \begin{align*} P(z_0)&=\left(i\sqrt{2}\right)^3-\left(2+i\sqrt{2}\right)\left(i\sqrt{2}\right)^2+2\left(1+i\sqrt{2}\right)\left(i\sqrt{2}\right)-2i\sqrt{2}\\ &=-2i\sqrt{2}+2\left(2+i\sqrt{2}\right)+2\left(i\sqrt{2}-2\right)-2i\sqrt{2}\\ &=-2i\sqrt{2}+4+2i\sqrt{2}+2i\sqrt{2}-4-2i\sqrt{2}=0\\ \end{align*}

   Donc $P(z_0)=0$.



2. 1. Soient $a$ et $b$ deux réels. Pour tout nombre complexe $z$, \begin{align*} \left(z-i\sqrt{2}\right)\left(z^2+az+b\right)&=z^3+az^2+bz-i\sqrt{2}z^2-ia\sqrt{2}z-ib\sqrt{2}\\ &=z^3+\left(a-i\sqrt{2}\right)z^2+\left(b-ia\sqrt{2}\right)z-ib\sqrt{2}. \end{align*}

      Si on choisit les réels $a$ et $b$ tels que $\left\{ \begin{array}{l} a-i\sqrt{2}=-\left(2+i\sqrt{2}\right)\\ b-ia\sqrt{2}=2\left(1+i\sqrt{2}\right)\\ -ib\sqrt{2}=-2i\sqrt{2} \end{array} \right.$, alors pour tout nombre complexe $z$ on aura $\left(z-i\sqrt{2}\right)\left(z^2+az+b\right)=P(z)$. Or,

      $\left\{ \begin{array}{l} a-i\sqrt{2}=-\left(2+i\sqrt{2}\right)\\ b-ia\sqrt{2}=2\left(1+i\sqrt{2}\right)\\ -ib\sqrt{2}=-2i\sqrt{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} a=-2\\ b+2i\sqrt{2}=2\left(1+i\sqrt{2}\right)\\ b=2 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} a=-2\\ b=2\\ b=2 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} a=-2\\ b=2 \end{array} \right.$.

      Donc

      pour tout nombre complexe $z$, $P(z)=\left(z-i\sqrt{2}\right)\left(z^2-2z+2\right)$.

   
   
   2. Soit $z$ un nombre complexe. $P(z)=0\Leftrightarrow z=i\sqrt{2}\;\text{ou}\;z^2-2z+2=0$.

      Le discriminant de l'équation $z^2-2z+2=0$ est $\Delta=(-2)^2-4\times2=-4=(2i)^2$. Donc l'équation $z^2-2z+2=0$ admet deux solutions non réelles conjuguées à savoir $z_1=\dfrac{2+2i}{2}=1+i$ et $z_2=\overline{z_1}=1-i$.

      Pour tout nombre complexe $z$, $P(z)=0\Leftrightarrow z\in\left\{i\sqrt{2},1+i,1-i\right\}$.

Partie B

1. 
   


2. $z_K=e^{\frac{3i\pi}{4}}=\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

   Le point $K$ est le milieu du segment $[JL]$. Par suite, $\dfrac{z_L+z_J}{2}=z_K$ puis

   $z_L=2z_K-z_J=2\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)-i\sqrt{2}=-\sqrt{2}+i\sqrt{2}-i\sqrt{2}=-\sqrt{2}$.

   $z_L=-\sqrt{2}$.



3. • $OA=\left|z_A\right|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$.
   • $OB=\left|z_B\right|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$.
   • $OJ=\left|z_J\right|=\sqrt{2}|i|=\sqrt{2}$.
   • $OL=\left|-\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}$.

   Les points $A$, $B$, $J$ et $L$ appartiennent au cercle de centre $O$ et de rayon $\sqrt{2}$.



4. • $z_C=-z_A$ et donc $O$ est le milieu du segment $[AC]$. De même, $z_D=-z_B$ et donc $O$ est le milieu du segment $[BD]$.
     Ainsi, les diagonales du quadrilatère $ABCD$ ont même milieu et donc $ABCD$ est un parallélogramme.
   • Le vecteur $\overrightarrow{AC}$ a pour coordonnées $(-2,-2)$ et le vecteur $\overrightarrow{BD}$ a pour coordonnées $(-2,2)$. Par suite, $AC=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2}=\sqrt{8}$ et $BD=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt{8}$. En particulier, $AC=BD$. D'autre part, $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=(-2)\times(-2)+(-2)\times2=0$, et donc $(AC)\bot(BD)$.

   En résumé, les diagonales du parallélogramme $ABCD$ sont perpendiculaires et ont même longueur. On en déduit que

   le quadrilatère $ABCD$ est un carré.