EXERCICE 1 (5 points) (commun à tous les candidats)
Partie A
On considère le polynôme $P$ défini sur $\mathbb{C}$ par :
$P(z)=z^3-\left(2+i\sqrt{2}\right)z^2+2\left(1+i\sqrt{2}\right)z-2i\sqrt{2}$.
- Montrer que le nombre complexe $z_0=i\sqrt{2}$ est solution de l'équation $P(z)=0$.
-
- Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $P(z)=\left(z-i\sqrt{2}\right)\left(z^2+az+b\right)$.
- En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $P(z)=0$.
Partie B
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. On prendra $2$ cm pour unité graphique.
On considère les points $A$, $B$, $J$ et $K$ d'affixes respectives :
$$z_A=1+i,\quad z_B=1-i,\quad z_J=i\sqrt{2}\quad\text{et}\quad z_K=e^{\frac{3i\pi}{4}}.$$
- Placer les points $A$, $B$, $J$ et $K$ sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice.
- Soit $L$ le symétrique du point $J$ par rapport au point $K$. Montrer que l'affixe de $L$ est égale à $-\sqrt{2}$.
- Montrer que les points $A$, $B$, $J$ et $L$ appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
- Soient $C$ et $D$ les points d'affixes respectives $z_C=-1-i$ et $z_D=-1+i$.
Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ? Justifier la réponse.