Nouvelle Calédonie 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 2

    1. Représentons la situation par un arbre.
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    2. D'après la formule des probabilités totales,
      $p(B)=p(A)\times p_A(B)+p\left(\overline{A}\right)\times p_{\overline{A}}(B)=\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{4}+\dfrac{5}{6}\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{9}{24}=\dfrac{3}{8}$.

      $p(B)=\dfrac{3}{8}$.


    3. La probabilité demandée est $p_B(A)$.
      $p_B(A)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}=\dfrac{p(A)\times p_A(B)}{p(B)}=\dfrac{\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{4}}{\dfrac{3}{8}}=\dfrac{1}{24}\times\dfrac{8}{3}=\dfrac{1}{9}$.

      $p_B(A)=\dfrac{1}{9}$.



    1. La variable aléatoire $X$ est régie par un schéma de \textsc{Bernoulli}. En effet,

      • $10$ expériences identiques et indépendantes sont effectuées ;
      • chaque expérience a deux issues~:~\og la boule obtenue est noire \fg~avec une probabilité $p=\dfrac{3}{8}$ (d'après la question 1)b)) ou \og la boule obtenue n'est pas noire \fg~avec une probabilité $1-p=\dfrac{5}{8}$.

      La variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac{3}{8}$.

      On sait alors que pour tout entier $k$ tel que $0\leqslant k\leqslant10$,

      $p(X=k)=\dbinom{10}{k}\left(\dfrac{3}{8}\right)^k\left(\dfrac{5}{8}\right)^{10-k}$.

      En particulier,

      $$p(X=3)=\dbinom{10}{3}\left(\dfrac{3}{8}\right)^3\left(\dfrac{5}{8}\right)^{7}=0,2357\ldots$$

      (fourni par la calculatrice) et donc

      la probabilité de gagner exactement $3$ parties est $0,236$ arrondie au millième.


    2. La probabilité demandée est $p\left(X\geqslant1\right)$.
      $p\left(X\geqslant1\right)=1-p(X=0)=1-\dbinom{10}{0}\left(\dfrac{3}{8}\right)^0\left(\dfrac{5}{8}\right)^{10}=1-\left(\dfrac{5}{8}\right)^{10}=0,9909\ldots$

      et donc

      la probabilité de gagner au moins $1$ partie est $0,991$ arrondie au millième.


    3. La probabilité considérée est $p\left(X\geqslant N\right)$.
      $p\left(X\geqslant N\right)\leqslant\dfrac{1}{10}\lra1-p(X< N)\leqslant\dfrac{1}{10}\lra p(X< N)\geqslant0,9$.

      4. D'après le tableau fourni dans l'énoncé, la valeur de $N$ à partir de laquelle la probabilité de l'événement \og la personne gagne au moins $N$ parties \fg~devient inférieure à $\dfrac{1}{10}$ est $7$.