Nouvelle Calédonie 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 3 (4 points) (candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité)

Pour chacun des énoncés suivants, indiquer si la proposition correspondante est vraie ou fausse et proposer une justification de la réponse choisie.

Enoncé 1 : Soit $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite non constante de réels. Pour tout entier $n$, on pose $u_n=\sin(a_n)$.

Proposition 1 : \og \textit{On peut choisir la suite} $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ \textit{telle que la suite} $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ \textit{converge vers} $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. \fg

Enoncé 2 : Dans le plan complexe d'origine $O$, on considère, pour tout entier naturel non nul $n$, les points $M_n$ d'affixe $z_n=e^{\frac{2in\pi}{3}}$.

Proposition 2 : \og \textit{Les points} $O$, $M_1$ \textit{et} $M_{20}$ \textit{sont alignés.} \fg

Enoncé 3 : On considère une fonction $f$, sa dérivée $f'$ et sa primitive $F$ s'annulant en $x=0$ (on admet l'existence et l'unicité de $F$).
Les représentations graphiques des ces trois fonctions sont données (dans le désordre) par les courbes ci-dessous.

Proposition 3 : \og \textit{La courbe 3 ci-dessous est la représentation graphique de} $f$. \fg

Enoncé 4 : On considère, dans un repère orthonormé de l'espace, le point $A(0;0;3)$ et le plan $P$ d'équation $2x-y+z=0$.

Proposition 4 : \og \textit{le projeté orthogonal de} $A$ \textit{sur le plan} $P$ \textit{est le point} $H\left(-1,\dfrac{1}{2},\dfrac{5}{2}\right)$ \fg.