Justification 1. Pour tout entier naturel $n$, on pose $a_n=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{1}{n+1}$. La suite $(a_n)_{n\in\mbn}$ n'est pas constante. De plus, $\dlim{n}{+\infty}a_n=\dfrac{\pi}{4}$ et donc $\dlim{n}{+\infty}u_n=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. La proposition 1 est vraie
Justification 2. $z_{20}=e^{40i\pi/3}=e^{i\frac{4\pi}{3}+i\frac{36\pi}{3}}=e^{i\frac{4\pi}{3}+12i\pi}=e^{i\frac{4\pi}{3}}\times e^{12i\pi}=e^{i\frac{4\pi}{3}}\times1=e^{i\frac{4\pi}{3}}$.
Le vecteur $\overrightarrow{OM_1}$ a pour coordonnées $\left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right),\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)$ ou encore $\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
Le vecteur $\overrightarrow{OM_{20}}$ a pour coordonnées $\left(\cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right),\sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)\right)$ ou encore $\left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
Les vecteurs $\overrightarrow{OM_1}$ et $\overrightarrow{OM_{20}}$ ne sont pas colinéaires et donc les points $O$, $M_1$ et $M_{20}$ ne sont pas alignés. La proposition 2 est fausse.
Justification 3. Puisque $F(0)=0$, la courbe représentative de $F$ est la courbe 1 ou la courbe 3. Dans les deux cas, la tangente à la courbe représentative de $F$ au point $O$ n'est pas parallèle à $(Ox)$ et donc $f(0)=F'(0)\neq0$. Seule la courbe 2 peut donc être la courbe représentative de $f$. La proposition 3 est fausse.
Justification 4. $2x_H-y_H+z_H=-2-\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2}=0$ et donc le point $H$ appartient au plan $P$.
Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{HA}$ sont $\left(1,-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)$.
D'autre part, un vecteur normal au plan $P$ est le vecteur $\overrightarrow{n}$ de coordonnées $(2,-1,1)$. On remarque que $\overrightarrow{HA}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{n}$. On en déduit que la droite $(AH)$ est perpendiculaire au plan $P$.
En résumé, le point $H$ appartient au plan $P$ et la droite $(AH)$ est perpendiculaire au plan $P$. Le point $H$ est donc le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $P$. La proposition 4 est vraie.