Nouvelle Calédonie 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 4 (5 points) (commun à tous les candidats)

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $f(x)=xe^x$.

On désigne par $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal $\left(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.

Soit $a$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $[0;1]$.

Sur la courbe $\mathscr{C}$, tracée en annexe, on a placé les points $A$ et $B$ d'abscisses respectives $a$ et $1$. On a tracé les segments $[OA]$ et $[AB]$. On a hachuré la partie du plan délimitée par les segments $[OA]$ et $[AB]$ et la courbe $\mathscr{C}$.
On a placé les points $A'(a;0)$ et $B'(1;0)$.

Le but de l'exercice est de déterminer la valeur du nombre réel $a$ pour laquelle l'aire de la partie du plan hachurée en annexe est minimale.

PARTIE A :

1. 1. Soient $a$ et $b$ deux réels. Pour tout réel $x$, on pose $F(x)=(ax+b)e^x$.
      Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la fonction $F$ soit une primitive de la fonction $x\mapsto xe^x$ sur $\mathbb{R}$.
   
   
   2. En déduire que $\displaystyle\int_0^1xe^x\;dx=1$.
   
   
2. 1. Donner l'aire du triangle $OAA'$ et montrer que l'aire du trapèze $ABB'A'$ est égale à $\dfrac{1}{2}\left(-a^2e^a+ae^a-ae+e\right)$.
   
   
   2. En déduire que l'aire de la partie du plan hachurée est $\dfrac{1}{2}\left(ae^a-ae+e-2\right)$.

PARTIE B :

Soit $g$ la fonction définie sur $[0,+\infty[$ par

1. Soit $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ de $[0;+\infty[$.
   Vérifier que la fonction dérivée seconde $g''$ est définie sur $[0;+\infty[$ par $g''(x)=(2+x)e^x$.


2. En déduire les variations de la fonction $g'$ sur $[0;+\infty[$.


3. Etablir que l'équation $g'(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[0;+\infty[$. Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.


4. En déduire les variations de la fonction $g$ sur $[0;+\infty[$.


5. En utilisant les réponses aux questions des parties A et B, montrer qu'il existe une valeur de $a$ pour laquelle l'aire de la partie du plan hachurée est minimale. Donner cette valeur de $a$.