Nouvelle Calédonie 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 4

1. 1. La fonction $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$, $$F'(x)=ae^x+(ax+b)e^x=(ax+a+b)e^x.$$

      Par suite,

      \begin{align*} F\;\text{est une primitive de la fonction}\;x\mapsto xe^x\;\text{sur}\;\mathbb{R}&\Leftrightarrow\;\text{pour tout réel}\;x,\;(ax+a+b)e^x=xe^x\\ &\Leftarrow\;\text{pour tout réel}\;x,\;ax+a+b=x\\ &\Leftarrow\;\left\{ \begin{array}{l} a=1\\ a+b=0 \end{array} \right.\Leftarrow\;\left\{ \begin{array}{l} a=1\\ b=-1 \end{array} \right.. \end{align*}

      Une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $x\mapsto xe^x$ est donc la fonction $F~:~x\mapsto(x-1)e^x$.

   
   
   2. On en déduit que $$\displaystyle\int_{0}^{1}xe^x\;dx=\left[(x-1)e^x\right]_0^1=(1-1)e^1-(0-1)e^0=1.$$

      $\dint{0}{1}xe^x\;dx=1$.



2. 1. L'aire du triangle $OAA'$ est $\text{aire de}(OAA')=\dfrac{OA'\times AA'}{2}=\dfrac{a\times ae^a}{2}=\dfrac{1}{2}a^2e^a$.

      L'aire du trapèze $ABB'A'$ est

      $\text{aire de}(ABB'A')=\dfrac{(AA'+BB')\times A'B'}{2}=\dfrac{(ae^a+e)(1-a)}{2}=\dfrac{1}{2}(-a^2e^a+ae^a-ae+e)$.
   
   
   2. La fonction $f$ est continue et positive sur $[0,1]$. Donc l'aire, exprimée en unités d'aire et notée $\mathscr{A}$, de la partie du plan comprise l'axe $(Ox)$ et la courbe $\mathscr{C}$ d'une part et les droites d'équations respectives $x=0$ et $x=1$ d'autre part est $\dint{0}{1}f(x)\;dx$ c'est-à-dire $1$ d'après la question 1.

      D'après le graphique fourni en annexe, l'aire de la partie du plan hachurée, exprimée en unités d'aire est

      \begin{align*} \mathscr{A}'&=\text{aire de}(OAA')+\text{aire de}(ABB'A')-\mathscr{A}=\dfrac{1}{2}a^2e^a+\dfrac{1}{2}(-a^2e^a+ae^a-ae+e)-1\\ &=\dfrac{1}{2}(a^2e^a-a^2e^a+ae^a-ae+e-2)=\dfrac{1}{2}(ae^a-ae+e-2). \end{align*}

      L'aire, exprimée en unités d'aire, de la zone hachurée est $\dfrac{1}{2}(ae^a-ae+e-2)$.

1. La fonction $x\mapsto x(e^x-e)$ est dérivable sur $[0,+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $[0,+\infty[$. Mais alors, la fonction $g$ est dérivable sur $[0,+\infty[$ et pour tout $x\geqslant0$, $g'(x)=(e^x-e)+x(e^x)+0=xe^x+e^x-e$.

   De nouveau la fonction $g'$ est dérivable sur $[0,+\infty[$ et pour tout $x\geqslant0$,

   $g''(x)=1\times e^x+xe^x+e^x=(2+x)e^x$.

   Pour tout réel $x$, $g''(x)=(2+x)e^x$.



2. Pour tout réel $x\geqslant0$, $e^x>0$ et $x+2>0$. Donc, pour tout réel $x\geqslant0$, $g''(x)>0$. Mais alors, la fonction $g'$ est strictement croissante sur $[0,+\infty[$.


3. • $g'(0)=(2+0)e^0=2$
   
   
   • $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}x=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}e^x=+\infty$. En multipliant, on obtient $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}xe^x=+\infty$. Ensuite, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}e^x-e=+\infty$ et en additionnant, on obtient $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}g'(x)=+\infty$.
   
   
   • La fonction $g'$ est continue et strictement croissante sur $[0,+\infty[$.

     On sait alors que pour tout réel $k$ de $\left[g'(0),\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}g'(x)\right[=[1-e,+\infty[$, l'équation $g'(x)=k$ admet une solution et une seule dans $[0,+\infty[$. En particulier, puisque $1-e< 0$ et donc que $0$ appartient à $[1-e,+\infty[$, l'équation $g'(x)=0$ admet une solution et une seule, notée $\alpha$, dans $[0,+\infty[$.

     La calculatrice fournit $g'(0,5)=-0,2\ldots< 0$ et $g'(0,6)=0,1\ldots>0$. Ainsi, $g'(0,5)