Polynésie 2012. Enseignement de spécialité

EXERCICE 4

Partie A

1. $25\times13-108\times3=325-324=1$. Donc le couple $(x_0,y_0)=(13,3)$ est un couple d'entiers relatifs solution de l'équation $(E)$. Notons alors que les entiers relatifs $25$ et $108$ sont premiers entre eux d'après le théorème de \textsc{Bézout}.


2. Soit $(x,y)$ un couple d'entiers relatifs. $25x-108y=1\Leftrightarrow 25x-108y=25x_0-108y_0\Leftrightarrow 25(x-x_0)=108(y-y_0)$.

   Ainsi, si $(x,y)$ est un couple d'entiers relatifs solution de l'équation $(E)$, alors l'entier $108$ divise l'entier $108(y-y_0)=25(x-x_0)$ et puisque $108$ et $25$ sont des entiers premiers entre eux, le théorème de \textsc{Gauss} permet d'affirmer que $108$ divise $x-x_0$. Par suite, il existe un entier relatif $k$ tel que $x-x_0=108k$ ou encore $x=x_0+108k$.
   De même, l'entier $25$ divise $y-y_0$ et donc il existe un entier relatif $k'$ tel que $y-y_0=25k'$ ou encore $y=y_0+25k'$.

   Réciproquement, soient $k$ et $k'$ deux entiers relatifs puis $x=x_0+108k$ et $y=y_0+25k'$.

   \begin{align*} 25x-108y=1&\Leftrightarrow 25(x_0+108k)-108(y_0+25k')=1\Leftrightarrow 25x_0-108y_0+25\times108\times(k-k')=1\\ &\Leftrightarrow 25\times108\times(k-k')=0\Leftrightarrow k=k'. \end{align*}

   Finalement,

   les couples d'entiers relatifs solutions de l'équation $(E)$ sont les couples de la forme $(13+108k,3+25k)$, $k\in\mathbb{Z}$.

Partie B

1. Si $x\equiv a\;[7]$ et $x\equiv a\;[19]$, alors $x-a$ est divisible par les nombres premiers $7$ et $19$.
   On sait alors que $x-a$ divisible par $7\times 19$ c'est-à-dire $133$. Finalement, $x-a$ est un multiple de $133$ ou encore $x\equiv a\;[133]$.


2. 1. 
      
      • $1^6=1$ et donc $1^6\equiv1\;[7]$.
      • $2^6=8^2$. Or, $8\equiv1\;[7]$ et donc $8^2\equiv1^2\;[7]$ ou encore $2^6\equiv1\;[7]$.
      • $3^6=9^3$. Or, $9\equiv2\;[7]$ et donc $9^3\equiv8\;[7]$ ou encore $3^6\equiv1\;[7]$.
      • $4\equiv-3\;[7]$. Or, $(-3)^6=3^6$ et donc $4^6\equiv3^6\;[7]$ ou encore $4^6\equiv1\;[7]$.
      • De même, $5\equiv-2\;[7]$ et $6\equiv-1\;[7]$. Par suite, $5^6\equiv(-2)^6\;[7]$ et $6^6\equiv(-1)^6\;[7]$ ou encore $5^6\equiv1\;[7]$ et $6^6\equiv1\;[7]$.

      On a montré que pour tout entier $x$ tel que $1\leqslant x\leqslant 6$, $x^6\equiv1\;[7]$.

   
   
   2. On sait qu'un entier naturel est congru modulo au reste de la division euclidienne de cet entier par $7$.
      Soit $a$ un entier naturel non multiple de $7$. Le reste de la division euclidiennne de $a$ par $7$ n'est pas nul et donc il existe un entier $x$ tel que $1\leqslant x\leqslant 6$ et $a\equiv x\;[7]$.

      D'après la question précédente, on a $x^6\equiv1\;[7]$ et on en déduit que $a^6\equiv 1\;[7]$.

      On en déduit que $\left(a^6\right)^{18}\equiv1^{18}\;[7]$ ou encore $a^{108}\equiv1\;[7]$.

      Ensuite, $\left(a^{25}\right)^g=a^{25g}=a^{1+108c}=a\times\left(a^{108}\right)^c$. Mais alors $\left(a^{25}\right)^g\equiv a\times1^c\;[7]$ ou encore $\left(a^{25}\right)^g\equiv a\;[7]$.

   
   
   3. Si $a$ est un multiple de $7$, alors $a\equiv 0\;[7]$ puis $\left(a^{25}\right)^g\equiv\left(0^{25}\right)^g\;[7]$ ou encore $\left(a^{25}\right)^g\equiv0\;[7]$.

      En résumé, si $a\equiv 0\;[7]$ et $\left(a^{25}\right)^g\equiv0\;[7]$. En particulier, $\left(a^{25}\right)^g\equiv a\;[7]$.

   
   
   4. $\left(a^{25}\right)^g\equiv a\;[7]$ et $\left(a^{25}\right)^g\equiv a\;[19]$. D'après la question 1) de la partie B,

      pour tout entier naturel $a$, $\left(a^{25}\right)^g\equiv a\;[133]$.

Partie C

1. $r_1\equiv r^{13}\;[133]$ et $r^{13}\equiv \left(a^{25}\right)^{13}\;[133]$. Donc, $r_1\equiv\left(a^{25}\right)^{13}\;[133]$.wbr /> D'autre part, le couple $(g,c)=(13,3)$ est un couple d'entiers relatifs solution de l'équation $(E)$ d'après la question 1) de la partie A.
   Mais alors $\left(a^{25}\right)^{13}\equiv a\;[133]$ d'après la question 2)c) de la partie B.

   En résumé, $r_1\equiv\left(a^{25}\right)^{13}\;[133]$ et $\left(a^{25}\right)^{13}\equiv a\;[133]$. On en déduit que

   $r_1\equiv a\;[133]$.



2. • $128^2\equiv(-5)^2\;[133]$ ou encore $128^2\equiv25\;[133]$ puis $128^{12}\equiv25^6\;[133]$.
     $25^6=5^{12}=\left(5^3\right)^4=125^4$. Comme $125\equiv-8\;[133]$, $128^{12}\equiv(-8)^4\;[133]$ ou encore $128^{12}\equiv8^4\;[133]$.
     $8^4=2^{12}=2^7\times2^5=128\times32$ et donc $128^{12}\equiv-5\times32\;[133]$ ou encore $128^{12}\equiv-160\;[133]$ ou encore $128^{12}\equiv-160+133\;[133]$ ou enfin $$128^{12}\equiv-27\;[133].$$

     $128^{13}=128^{12}\times128$ et donc $128^{13}\equiv-27\times-5\;[133]$ ou encore $128^{13}\equiv135\;[133]$ ou enfin

     $$128^{13}\equiv2\;[133],$$

     (avec $0\leqslant 2< 133$).

   
   
   • $59^2=3481=23+26\times133$ et donc $59^2\equiv23\;[133]$ puis $59^{12}\equiv23^6\;[133]$.
     $23^2=529=-3+4\times133$ et donc $23^2\equiv-3\;[133]$ puis $59^{12}\equiv(-3)^3\;[133]$ ou encore $59^{12}\equiv-27\;[133]$.
     Mais alors, $59^{13}\equiv-27\times59\;[133]$ ou encore $59^{13}\equiv-1593\;[133]$ ou encore $59^{13}\equiv-1593+12\times133\;[133]$ ou enfin $59^{13}\equiv3\;[133]$ (avec $0\leqslant 3<133$).

     Le message qui a été codé est le message : $2$\quad $3$.