EXERCICE 1 (5 points) (commun à tous les candidats)
Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\left(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.
On considère les points $B (100 ; 100)$ et $C\left(50 ;\dfrac{50}{\sqrt{e}}\right)$ et la droite $(D)$ d'équation $y = x$.
On note $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ dont la courbe représentative, notée $\Gamma$, est donnée en annexe.
On suppose de plus qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que :
- pour tout $x$ réel, $f(x)= xe^{ax+b}$.
- les points $B$ et $C$ appartiennent à la courbe $\Gamma$.
-
- Montrer que le couple $(a ; b)$ est solution du système :
$\left\{
\begin{array}{l}
100a+b=0\\
50a+b=-\dfrac{1}{2}
\end{array}
\right.$.
- En déduire que, pour tout $x$ réel, $f(x) = xe^{0,01x-1}$.
- Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
-
- Montrer que pour tout $x$ réel, $f(x) =\dfrac{100}{e}\times0,01xe^{0,01x}$.
- En déduire la limite de $f$ en $-\infty$.
- Étudier les variations de la fonction $f$. On donnera le tableau de variations complet.
- Étudier la position relative de la courbe $\Gamma$ et de la droite $(D)$.
-
- Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur $[0,100]$ de la forme $F~:~x\mapsto(cx+d)e^{0,01x-1}$.
- En déduire la valeur de l'intégrale $\displaystyle\int_0^{100}f(t)\;dt$.
- On désigne par $A$ l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par les droites d'équations $x = 0$ et
$x = 100$, la droite $(D)$ et la courbe $\Gamma$. Calculer $A$.
Annexe de l'exercice 1
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