$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}e^{0,01x-1}=\displaystyle
\lim_{X\rightarrow+\infty}e^X=+\infty$. D'autre part, $\dlim{x}{+\infty}x=+\infty$ et en multipliant, on obtient
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}0,01xe^{0,01x}=\displaystyle\lim_{X\rightarrow-\infty}Xe^{X}=0$ d'après un théorème de croissances comparées.
Par suite, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{100}{e}\times0,01xe^{0,01x}=\dfrac{100}{e}\times0=0$. Finalement,
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=0$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$,
$$f'(x)=1\times e^{0,01x-1}+x\times(0,01x-1)'e^{0,01x-1}=(1+0,01x)e^{0,01x-1}.$$
Pour tout réel $x$, $e^{0,01x-1}>0$ et donc pour tout réel $x$, $f'(x)$ est du signe de $1+0,01x$.
Or, $1+0,01x>0\lra x>-\dfrac{1}{0,01}\lra x>-100$ et de même $1+0,01x=0\lra x=-100$. Donc, la fonction $f'$ est strictement positive sur $]-100,+\infty[$, strictement négative
sur $]-\infty,-100[$ et s'annule en $-100$.
On en déduit le tableau de variations de la fonction $f$ :
et de même $1-e^{0,01x-1}=0\lra x=100$. Etudions alors le signe de $f(x)-x$ dans un tableau de signes.
On en déduit que $\Gamma$ est strictement au-dessus de $\Delta$ sur $]-\infty,0[$ et sur $]100,+\infty[$, strictement au-dessous sur $]0,100[$ et enfin, $\Gamma$ et $\Delta$
se coupent aux points $O(0,0)$ et $B(100,100)$.
$F$ est dérivable sur $[0,100]$ et pour tout $x$ de $[0,100]$,
$$F'(x)=ce^{0,01x-1}+(cx+d)\times0,01e^{0,01x-1}=(0,01cx+c+0,01d)e^{0,01x-1}.$$
Par suite,
\begin{align*}
\text{pour tout réel}\;x\;\text{de}\;[0,100],\;F'(x)=xe^{0,01x-1}&\Leftrightarrow
\text{pour tout réel}\;x\;\text{de}\;[0,100],\;(0,01cx+c+0,01d)e^{0,01x-1}=xe^{0,01x-1}\\
&\Leftarrow\text{pour tout réel}\;x\;\text{de}\;[0,100],\;0,01cx+c+0,01d=x\\
&\Leftarrow\left\{
\begin{array}{l}
0,01c=1\\
c+0,01d=0
\end{array}
\right.\Leftarrow\left\{
\begin{array}{l}
c=100\\
d=-10000
\end{array}
\right.
\end{align*}
Ainsi, une primitive de la fonction $f$ sur $[0,100]$ est la fonction $x\mapsto(100x-10000)e^{0,01x-1}$.
On en déduit que
$$
\dint{0}{1}f(t)\;dt=\left[(100t-10000)e^{0,01t-1}\right]_0^{100}=0-(-10000)e^{-1}=\dfrac{10000}{e}.
$$
D'après la question 5), la courbe $\Gamma$ est au-dessous de la droite $(D)$ sur $[0,100]$. Donc,
\begin{align*}
A&=\dint{0}{100}(t-f(t))\;dt=\dint{0}{100}t\;dt-\dint{0}{100}f(t)\;dt\;(\text{par linéarité de l'intégrale})\\
&=\left[\dfrac{t^2}{2}\right]_0^{100}-\dfrac{10000}{e}=\dfrac{10000}{2}-\dfrac{10000}{e}=\dfrac{10000(e-2)}{2e}\\
&=\dfrac{5000(e-2)}{e}.
\end{align*}