EXERCICE 3 (5 points) (commun à tous les candidats)
Partie A
On considère l'algorithme suivant : les variables sont le réel $U$ et les entiers naturels $k$ et $N$.
| Entrée |
Saisir le nombre entier naturel non nul $N$ |
| Traitement |
Affecter à $U$ la valeur $0$
Pour $k$ allant de $0$ à $N - 1$
Affecter à $U$ la valeur $3U - 2k + 3$
Fin pour |
| Sortie |
Afficher$U$. |
Quel est l'affichage en sortie lorsque $N = 3$ ?
Partie B
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0= 0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= 3u_n-2n + 3$.
- Calculer $u_1$ et $u_2$.
-
- Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant n$.
- En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
- Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
- Soit la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - n + 1$.
- Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique.
- En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 3^n+ n - 1$.
- Soit $p$ un entier naturel non nul.
- Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$, $u_n\geqslant 10^p$ ?
On s'intéresse maintenant au plus petit entier $n_0$.
- Justifier que $n_0\leqslant 3p$.
- Déterminer à l'aide de la calculatrice cet entier $n_0$ pour la valeur $p = 3$.
- Proposer un algorithme qui, pour une valeur de $p$ donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$, on ait
$u_n \geqslant 10^p$.