Polynésie 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 3

Partie A

Si $N=3$, $k$ varie de $0$ à $2$.

Etape 1. $k=0$ puis $U=3\times0-2\times0+3=3$
Etape 2. $k=1$ puis $U=3\times3-2\times1+3=10$
Etape 3. $k=2$ puis $U=3\times10-2\times2+3=29$

L'affichage en sortie est donc $29$.

Partie B

1. $u_1=3u_0-2\times0+3=3\times0+3=3$ et $u_2=3u_1-2\times1+3=3\times0+3=9-2+3=10$.


2. 1. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant n$.
      
      
      • Pour $n=0$, $u_0=0$ et en particulier $u_0\geqslant0$. L'inégalité est donc vraie quand $n=0$.
      • Soit $n\geqslant 0$. Supposons que $u_n\geqslant n$. Alors,
      $u_{n+1}=3u_n-2n+3\geqslant 3n-2n+3=n+3\geqslant n+1$.

      On a montré par récurrence que

      pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant n$.

   
   
   2. Pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant n$ et $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}n=+\infty$. Donc

      $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=+\infty$.



3. Soit $n\in\mbn$. $u_{n+1}-u_n=3u_n-2n+3-u_n=2(u_n-n)+3\geqslant3$ (d'après la question précédente)

   et en particulier $u_{n+1}-u_n\geqslant0$ ou encore $u_n\leqslant u_{n+1}$. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant u_{n+1}$ et donc

   la suite $(u_n)$ est croissante.



4. 1. Soit $n\in\mbn$. $v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)+1=3u_n-2n+3-n=3u_n-3n+3=3(u_n-n+1)=3v_n$.

      La suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=3$.

   
   
   2. $v_0=u_0-0+1=1$ puis pour tout entier naturel $n$, $v_n=v_0\times q^n=3^n$.

      Mais alors, pour tout entier naturel $n$, $u_n=v_n+n-1=3^n+n-1$.

      Pour tout entier naturel $n$, $u_n=3^n+n-1$.



5. 1. Soit $p$ un entier naturel non nul. Puisque $\dlim{n}{+\infty}u_n=+\infty$, il existe un entier $n_0$ tel que, pour $n\geqslant n_0$, $u_n\geqslant10^p$.
   
   
   2. Soit $p$ un entier naturel non nul. $u_{3p}=3^{3p}+3p-1=27^p+3p-1\geqslant10^p+3\times1-1\geqslant10^p$ puis, pour $n\geqslant 3p$, $u_n\geqslant 10^p$ car la suite $(u_n)$ est croissante.

      Donc l'entier $3p$ est un rang à partir duquel on a $u_n\geqslant 10^p$. Puisque $n_0$ est le plus petit des rangs à partir duquel $u_n\geqslant 10^p$, on a $n_0\leqslant3p$.

      $n_0\leqslant3p$.

   
   
   3. $u_0=0< 10^3$, $u_1=3< 10^3$, $u_2=10< 10^3$, $u_3=29< 10^3$, $u_4=84< 10^3$, $u_5=247< 10^3$, $u_6=734< 10^3$, $u_7=2193\geqslant10^3$. Donc,

      si $p=3$ alors $n_0=7$.

   
   
   4. Algorithme.

      Entrée	Saisir le nombre entier naturel non nul $p$
      Traitement	Affecter à $N$ la valeur $0$ Tant que $3\wedge n+n-1< 10^p$ Affecter à $N$ la valeur $N+1$ Fin tant que
      Sortie	Afficher$N$.