Pondichéry 2012. Enseignement de spécialité

EXERCICE 4 (5 points)

Partie A Restitution organisée de connaissances

Soit $a$, $b$, $c$ et $d$ des entiers relatifs et $n$ un entier naturel non nul.
Montrer que si $a\equiv b\;(\text{mod}\;n)$ et $c\equiv d\;(\text{mod}\;n)$ alors $ac\equiv bd\;(\text{mod}\;n)$.

Partie B Inverse de 23 modulo 26

On considère l'équation $(E)$ : $23x-26y=1$, où $x$ et $y$ désignent deux entiers relatifs.

1. Vérifier que le couple $(-9,-8)$ est solution de l'équation $(E)$.


2. Résoudre alors l'équation $(E)$.


3. En déduire un entier $a$ tel que $0\leqslant a\leqslant 25$ et $23a\equiv 1\;(\text{mod}\;26)$.

Partie C Chiffrement de Hill

On veut coder un mot de deux lettres selon la procédure suivante :

Exemple :\rule{1cm}{0mm}$\underbrace{\textbf{TE}}_{\text{mot en clair}}\rule{0,3cm}{0mm}\overset{\text{étape 1}}{\longrightarrow}\rule{0,3cm}{0mm}(19,4)\rule{0,3cm}{0mm}\overset{\text{étape 2}}{\longrightarrow}\rule{0,3cm}{0mm}(13,19)\rule{0,3cm}{0mm}\overset{\text{étape 3}}{\longrightarrow}\rule{0,3cm}{0mm}\underbrace{\textbf{NT}}_{\text{mot codé}}$

1. Coder le mot \textbf{ST}.


2. On veut maintenant déterminer la procédure de décodage :
   1. Montrer que tout couple $(x_1,x_2)$ vérifiant les équations du système $(S_1)$, vérifie les équations du système : $(S_2)\;\left\{ \begin{array}{l} 23x_1\equiv4y_1+23y_2\;(\text{mod}\;26)\\ 23x_2\equiv19y_1+11y_2\;(\text{mod}\;26) \end{array} \right.$
   
   
   2. A l'aide de la \textbf{partie B}, montrer que le couple $(x_1,x_2)$ vérifiant les équations du système $(S_2)$, vérifie les équations du système : $(S_3)\;\left\{ \begin{array}{l} x_1\equiv16y_1+y_2\;(\text{mod}\;26)\\ x_2\equiv11y_1+5y_2\;(\text{mod}\;26) \end{array} \right.$
   
   
   3. Montrer que tout couple $(x_1,x_2)$ vérifiant les équations du système $(S_3)$, vérifie les équations du système $(S_1)$.
   
   
   4. Décoder le mot \textbf{YJ}.