Pondichéry 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 4

Partie A

Soient $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes. On sait que $\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\times\overline{z_2}$ et donc

En résumé, $|z_1z_2|^2=\left(|z_1|\times|z_2|\right)^2$. Puisqu'un module est un réel positif, en prenant la racine carrée des deux membres de l'égalité précédente, on obtient $|z_1z_2|=|z_1|\times|z_2|$. On a montré que

pour tous nombres complexes $z_1$ et $z_2$, $|z_1z_2|=|z_1|\times|z_2|$.

Partie B

1. 1. 
      \begin{align*} z_{C'}&=\dfrac{1-z_C}{\overline{z_C}-1}=\dfrac{1-(-2+i)}{(-2-i)-1}=\dfrac{3-i}{-3-i}=\dfrac{(3-i)(-3+i)}{(-3-i)(-3+i)}\\ &=\dfrac{-9+6i+1}{(-3)^2+(-1)^2}=\dfrac{-8+6i}{10}=-\dfrac{4}{5}+\dfrac{3}{5}i. \end{align*}

      $z_{C'}=-\dfrac{4}{5}+\dfrac{3}{5}i$.

   
   
   2. $OC'=\left|z_{C'}\right|=\sqrt{\left(-\dfrac{4}{5}\right)^2+\left(\dfrac{3}{5}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{16}{25}+\dfrac{9}{25}}=\sqrt{1}=1$. Donc

      le point $C'$ appartient au cercle de centre $O$ et de rayon $1$.

   
   
   3. Le point $A$ a pour coordonnées $(1,0)$, le point $C$ a pour coordonnées $(-2,1)$ et le point $C'$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{4}{5},\dfrac{3}{5}\right)$. Par suite, le vecteur $\overrightarrow{AC}$ a pour coordonnées $(-3,1)$ et le vecteur $\overrightarrow{AC'}$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{9}{5},\dfrac{3}{5}\right)$.

      On en déduit que $\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC'}$ et donc les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AC'}$ sont colinéaires. Ceci montre que

      les points $A$, $C$ et $C'$ sont alignés.



2. Soit $M$ un point du plan distinct de $A$. On note $z$ son affixe ($z$ est donc un nombre complexe distinct de $1$).
   Posons $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont deux réels tels que $(x,y)\neq(1,0)$. \begin{align*} f(M)=A&\Leftrightarrow\dfrac{1-z}{\overline{z}-1}=1\Leftrightarrow1-z=\overline{z}-1\;(\text{et}\;z\neq1)\\ &\Leftrightarrow z+\overline{z}=2\;(\text{et}\;z\neq1)\\ &\Leftrightarrow x+iy+x-iy=2\;(\text{et}\;(x,y)\neq(1,0))\\ &\Leftrightarrow x=1\;(\text{et}\;(x,y)\neq(1,0)). \end{align*}

   L'ensemble $\Delta$ est la droite d'équation $x=1$ privée du point $A$.



3. Soit $M$ un point du plan distinct de $A$ dont l'affixe est notée $z$. $OM'=|z'|=\dfrac{|1-z|}{\left|\overline{z}-1\right|}=\dfrac{|-(z-1)|}{\left|\overline{z-1}\right|}=\dfrac{|z-1|}{|z-1|}=1$.

   Donc $M'$ appartient au cercle de centre $O$ et de rayon $1$ ou encore $M'$ appartient au cercle $\mathscr{C}$.



4. Soit $z$ un nombre complexe distinct de $1$. Posons $z=x+iy$ ou $x$ et $y$ sont deux réels tels que $(x,y)\neq(1,0)$. \begin{align*} \dfrac{z'-1}{z-1}&=\dfrac{\dfrac{1-z}{\overline{z}-1}-1}{z-1}=\left(\dfrac{1-z}{\overline{z}-1}-1\right)\times\dfrac{1}{z-1}=\dfrac{(1-z)-(\overline{z}-1)}{(z-1)(\overline{z}-1)}=\dfrac{2-z-\overline{z}}{(z-1)\overline{(z-1)}}\\ &=\dfrac{2-(x+iy)-(x-iy)}{|z-1|^2}=\dfrac{2-2x}{|z-1|^2}. \end{align*}

   Le nombre $\dfrac{2-2x}{|z-1|^2}$ est un nombre réel et donc le nombre $\dfrac{z'-1}{z-1}$ est un nombre réel. Notons $k$ ce nombre réel.

   $\dfrac{z'-1}{z-1}=k\Rightarrow z'-1=k(z-1)\Rightarrow z_{\overrightarrow{AM'}}=kz_{\overrightarrow{AM}}\Rightarrow\overrightarrow{AM'}=k\overrightarrow{AM}$.

   Ainsi, les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AM'}$ sont colinéaires ou encore les points $A$, $M$ et $M'$ sont alignés.

   Pour tout point $M$ distinct de $A$, le point $M'$ appartient à la droite $(AM)$.



5. D'après la question 3), le point $D'$ appartient au cercle $\mathscr{C}$. D'après la question 4), le point $D'$ appartient à la droite $(AD)$ et d'après la question 2), le point $D'$ n'est pas le point $A$ puisque le point $D$ n'appartient pas à $\Delta$.
   $D'$ est donc le point d'intersection de la droite $(AD)$ et du cercle $\mathscr{C}$ autre que le point $A$.