Pondichéry 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 4 (5 points) (candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)

Partie A Restitution organisée de connaissances

Soit $z$ un nombre complexe. On rappelle que $\overline{z}$ est le conjugué de $z$ et que $|z|$ est le module de $z$.
On admet l'égalité $|z|^2=z\overline{z}$.

Montrer que, si $z_1$ et $z_2$ sont deux nombres complexes, alors $|z_1z_2|=|z_1||z_2|$.

Partie B Etude d'une transformation particulière

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct $\left(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)$, on désigne par $A$ et $B$ les points d'affixes respectives $1$ et $-1$.

Soit $f$ la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z\neq1$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que :

$z'=\dfrac{1-z}{\overline{z}-1}$.
  1. Soit $C$ le point d'affixe $z_C=-2+i$.

    1. Calculer l'affixe $z_{C'}$ du point $C'$ image de $C$ par la transformation $f$, et placer les points $C$ et $C'$ dans le repère donné en annexe.

    2. Montrer que le point $C'$ appartient au cercle $\mathscr{C}$ de centre $O$ et de rayon $1$.

    3. Montrer que les points $A$, $C$ et $C'$ sont alignés.

  2. Déterminer et représenter sur la figure donnée en annexe l'ensemble $\Delta$ des points du plan qui ont le point $A$ pour image par la transformation $f$.

  3. Montrer que, pour tout point $M$ distinct de $A$, le point $M'$ appartient au cercle $\mathscr{C}$.

  4. Montrer que, pour tout nombre complexe $z\neq1$, $\dfrac{z'-1}{z-1}$ est réel.
    Que peut-on en déduire pour les points $A$, $M$ et $M'$ ?

  5. On a placé un point $D$ sur la figure donnée en annexe. Construire son image $D'$ par la transformation $f$.

    6. Annexe à rendre avec la copie

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