Pondichéry 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 1

Partie A

1. 1. L'algorithme démarre avec $5$ nombres égaux à $0$ puis, tant que les $5$ nombres ne sont pas deux à deux distincts, il génère $5$ nombres au hasard entre $1$ et $50$. L'algorithme s'arrête quand les $5$ nombres générés sont deux à deux distincts. Par suite, l'algorithme peut fournir les ensembles $L_2$ et $L_4$ mais pas les ensembles $L_1$ et $L_3$.
   
   
   2. L'algorithme permet de tirer au sort $5$ coureurs parmi les $50$ pour subir un contrôle anti-dopage.


2. Il y a $50$ coureurs et $5$ coureurs choisis au hasard pour subir un contrôle parmi les $50$. La probabilité qu'un coureur subisse un contrôle est donc $p=\dfrac{5}{50}=0,1$.


3. 1. La variable aléatoire $X$ est régie par un schéma de \textsc{Bernoulli}. En effet,
      
      
      • $10$ expériences identiques et indépendantes sont effectuées ;
      • chaque expérience a deux issues~:~\og le coureur subit un contrôle \fg~avec une probabilité $p=0,1$ ou \og le coureur ne subit pas de contrôle \fg~avec une probabilité $1-p=0,9$.

      La variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,1$.

      On sait alors que pour tout entier $k$ tel que $0\leqslant k\leqslant10$,

      $p(X=k)=\dbinom{10}{k}(0,1)^k(0,9)^{10-k}$.
   
   
   2. La calculatrice fournit
      
      
      • $p(X=5)=\dbinom{10}{5}(0,1)^5(0,9)^{5}=0,0015$ arrondie au dix millième.

        La probabilité que le coureur soit contrôlé $5$ fois exactement est $0,0015$ arrondie au dix millième.

      
      
      • $p(X=0)=\dbinom{10}{0}(0,1)^0(0,9)^{10}=(0,9)^{10}=0,3487$ arrondie au dix millième.

        La probabilité que le coureur ne soit pas contrôlé est $0,3487$ arrondie au dix millième.

      
      
      • $p(X\geqslant1)=1-p(X=0)=1-(0,9)^{10}=0,6513$ arrondie au dix millième.

        La probabilité que le coureur soit contrôlé au moins une fois est $0,6513$ arrondie au dix millième.

Partie B

1. L'énoncé fournit $p(T)=0,05$, $p_D(T)=0,97$ et $p_{\overline{D}}(T)=0,01$ et demande $p(D)$. Posons $p(D)=p$.

   Représentons la situation par un arbre :

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   La formule des probabilités totales fournit :

   $p(T)=p\left(D\cap T\right)+p\left(\overline{D}\cap T\right)=p(D)\times p_D(T)+p\left(\overline{D}\right)\times p_{\overline{D}}(T)$,

   et donc $0,97p+0,01(1-p)=0,05$ puis $0,96p=0,04$ et finalement

   $p(D)=\dfrac{0,04}{0,96}=\dfrac{4}{96}=\dfrac{1}{24}$.

   $p(D)=\dfrac{1}{24}$.



2. La probabilité demandée est $p_T\left(\overline{D}\right)$. $p_T\left(\overline{D}\right)=\dfrac{p(T\cap\overline{D})}{p(T)}=\dfrac{p\left(\overline{D}\right)\times p_{\overline{D}}(T)}{p(T)}=\dfrac{\left(1-\dfrac{1}{24}\right)\times\dfrac{1}{100}}{\dfrac{5}{100}}=\dfrac{23}{24}\times\dfrac{1}{100}\times\dfrac{100}{5}=\dfrac{23}{120}$.

   $p_T\left(\overline{D}\right)=\dfrac{23}{120}$.