Pondichéry 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 3 (5 points) (commun à tous les candidats)

On considère les suites $(I_n)$ et $(J_n)$ définies pour tout entier naturel $n$ par :

$I_n=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{e^{-nx}}{1+x}\;dx$ et $J_n=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{e^{-nx}}{(1+x)^2}\;dx$.
  1. Sont représentées ci-dessous les fonctions $f_n$ définies sur l'intervalle $[0;1]$ par $f_n(x)=\dfrac{e^{-nx}}{1+x}$, pour différentes valeurs de $n$ :
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    1. Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite $(I_n)$ en expliquant la démarche.

    2. Démontrer cette conjecture.


    1. Montrer que pour tout entier $n\geqslant0$ et pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[0;1]$ :
      $0\leqslant\dfrac{e^{-nx}}{(1+x)^2}\leqslant\dfrac{e^{-nx}}{1+x}\leqslant e^{-nx}$.

    2. Montrer que les suites $(I_n)$ et $(J_n)$ sont convergentes et déterminer leur limite.


    1. Pour tout entier naturel $n$ et tout réel $x$ de $[0;1]$, on pose $g_n(x)=\dfrac{e^{-nx}}{(1+x)^2}$.
      Démontrer que pour tout entier naturel $n$ et tout réel $x$ de $[0;1]$, $$f_n'(x)=-nf_n(x)-g_n(x).$$

    2. En déduire que pour tout entier $n\geqslant1$ :
      $I_n=\dfrac{1}{n}\left(1-\dfrac{e^{-n}}{2}-J_n\right)$.

    3. En déduire $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}nI_n$.